辐角定理证明

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问题描述:

辐角的取值范围

推荐答案

2023-10-23 15:42:03

任意复数表示成z=a+bi

若a=ρcosθ,b=ρsinθ,即可将复数在一个平面上表示成一个向量,ρ为向量长度(复数中称为模),θ为向量角度(复数中称为辐角)

即z=ρcosθ+ρsinθ,由欧拉公式得z=ρe^(iθ)

注意到向量角度t,cos(2kπ+θ)=cosθ,sin(2kπ+θ)=sinθ

所以z=ρe^(iθ)=ρe^[i(2kπ+θ)

开n次方,z^(1)=ρ^(1)*e^[i(2kπ+θ)]

k=0,1,2,3……n-1,n,n+1……

k=n时,易知和k=0时取值相同

k=n+1时,易知和k=1时取值相同

故总共n个根,复数开n次方有n个根

故复数开方公式

先把复数转化成下面形式

z=ρcosθ+ρsinθ=ρe^[i(2kπ+θ)

z^(1)=ρ^(1)*e^[i(2kπ+θ)]

k取0到n-1

注:必须要掌握的内容是,转化成三角形式以及欧拉公式.

开二次方也可以用一般解方程的方法

a+bi=(x+yi)^2,解一个二元二次方程组

但是高次就不行了,由于解三次、四次方程很复杂,五次方程以上(包含五次)没有公式,所以只能用上面的方法开方.

其他答案

2023-10-23 15:42:03

辐角定理是关于解析函数在简单闭曲线内部的零点个数与极点个数之间的关系的定理。幅角原理是复变函数中的原理,是奈氏判据的数学基础, 幅角原理用于控制系统的稳定性的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点,且不经过这些零极点,则s沿Γ顺时针运动一周时,在F(s)平面上,有闭合曲线Γ包围原点的圈数R=Z-P,其中R>0和R<0分别表示Γ顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点,R=0表示不包围F(s)平面的原点。

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