正交矩阵的特征值有什么特征

2023-10-23 15:49:00 258次

问题描述：

正交矩阵的特征值都大于零吗

2023-10-23 15:49:00

1、逆也是正交阵;

2、积也是正交阵;

3、行列式的值为正1或负1。

任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。

2023-10-23 15:49:00

设A是正交矩阵, λ是A的特征值, α是A的属于λ的特征向量

则 A^TA = E (E单位矩阵), Aα=λα, α≠0

考虑向量λα与λα的内积.

一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).

另一方面,

(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα

= α^Tα = (α,α).

所以有 λ^2(α,α) = (α,α).

又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0.

所以 λ^2 = 1.

所以 λ = ±1.

即正交矩阵的特征值只能是1或-1 #