单纯形法是一种常用于线性规划问题的算法，其主要步骤如下：
将标准形式的线性规划问题转化为矩阵形式，即确定决策变量和约束条件的系数矩阵、目标函数的系数向量以及约束条件的取值范围。
构造初始的单纯形表，即将系数矩阵按行向量逐个放入单纯形表的行中，并将目标函数的系数向量加入到单纯形表的底部。同时，对于每个非基变量，设其对应的列向量为 $a_{j}$，则在该列向量中除了第 $i$ 行元素外，其余元素都为 $0$，第 $i$ 行元素为 $1$，表示该非基变量对应的基变量为第 $i$ 个基变量。
判断当前单纯形表是否为最优解。如果目标函数系数向量的所有元素均为非负数，则当前解为最优解，算法结束。
在单纯形表中选择一个入基变量。首先选择目标函数系数向量中第一个负数元素对应的列向量 $a_{j}$，如果不存在这样的列向量，则当前问题无可行解，算法结束。如果存在多个负数元素对应的列向量，可以任选其中一个作为入基变量。
在选择的入基变量对应的列向量中，选择一个出基变量。具体来说，对于第 $j$ 列，设其对应的基变量为第 $i$ 个基变量，需要找到一个第 $i$ 行元素大于 $0$ 的位置 $k$，使得 $frac{b_{k}}{a_{kj}}$ 取最小值。这个位置的行下标 $k$ 就是出基变量所对应的行下标。
利用选择的入基变量和出基变量，更新单纯形表。具体来说，首先将第 $k$ 行除以 $a_{kj}$，使得 $a_{kj}=1$。然后，对于除第 $k$ 行外的每一行 $l$，将其第 $j$ 列元素除以 $a_{kj}$，再将其减去第 $k$ 行的对应元素乘以 $a_{lj}$。这样，就得到了一个新的单纯形表，即更新后的单纯形表。
重复执行步骤 3 至 6，直到得到最优解或者发现问题无可行解为止。
