拉格朗日中值定理成立的三个条件
拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
(3)拉格朗日中值定理是罗尔
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。
法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。
拉格朗日定理的成立的条件
第一，函数f( x)在定义域区间【a,b】上是连续的。
第二，函数在定义域区间（a, b）上可导。
第三，函数在a, b两点的函数值相等。
满足这些条件的时候拉格朗日中值定理才会成立。利用拉格朗日中值定理可以充分的理解函数的微分定理。
设函数满足以下两个条件：
[公式] 在闭区间[公式] 上连续
[公式] 在开区间[公式] 上可导
则存在[公式] ，使得[公式]
这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：
拉格朗日中值定理的两个条件为：
1. f(x)在[a,b]闭区间连续；
2 在(a,b)开区间可导
我认为, 在(a,b)开区间可导（条件2）就包含 f(x)左端点a的右导数 及右端点b的左倒数都存在，而依据“右导数存在就右连续“，所以f(x)在点a右连续，同理，在点b左连续；
而在开区间(a,b)内因为可导，显然连续，在加上端点a,b分别右连续与左连续，所以可以推出
f(x)在[a,b]闭区间连续
