两个特解什么条件下为通解

2023-10-23 17:23:33 282次

问题描述：

两个特解相减还是特解吗

2023-10-23 17:23:33

非齐次两个解相减是齐次的一个解，求非齐次通解要加上特解，非齐次求出齐次的那个是基础解系的一部分要带上系数。

即y'+f(x)y=g(x)

两个特解y1，y2

即y1'+f(x)y1=g(x)，y2'+f(x)y2=g(x)

二者相减得到

(y1-y2)'+f(x)*(y1-y2)=0

所以y1-y2当然是齐次方程

y'+f(x)*y=0的解

解的存在性

非齐次线性方程组

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩

2023-10-23 17:23:33

在常微分方程中，如果一个二阶线性常微分方程的特解个数为两个，那么这两个特解就是通解的充要条件是它们的线性组合也是该方程的解。

换句话说，如果两个特解分别为y1(x)和y2(x)，那么对于任意常数c1和c2，c1y1(x) + c2y2(x)也是该方程的解。这是因为线性常微分方程满足叠加原理，即两个解的线性组合仍然是解。因此，当两个特解满足这个条件时，它们就构成了通解。