（du Bois Reymond定理）对于任意一个给定的收敛正项级数 ，一定存在一个收敛正项级数 ，使得 ，反之，（Abel定理）对于任意发散正项级数 ，一定存在发散正项级数 ，使得 。
证明：
考虑收敛正项级数的余项 ，容易知道 单调减趋于0，令 ，记 ，容易验证它满足 ，并且 ，从而找到了需要的 。
同时，对于发散级数 ，可以找 。此时 不言自明。考虑柯西收敛准则证明 发散：
由于 发散，所以对任意n，容易找到一个p，使得 ， ，这样就知道它是发散的了。
这说明无论是判断收敛还是判断发散，都不存在一个级数能作为“收敛最快/发散最慢”的标准。
