正态分布的概率密度函数为：
$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} $$
其中，$mu$ 是均值，$sigma$ 是标准差。
我们可以将 $f(x)$ 与它的积分联系起来，得到累积分布函数：
$$ F(x) = int_{-infty}^{x} f(x) dx $$
现在我们要将正态分布标准化，即将它转化为均值为 $0$，标准差为 $1$ 的正态分布。这相当于将原来的分布的每个值减去均值，然后除以标准差。令 $Z$ 为标准正态分布的随机变量，它的概率密度函数为：
$$ phi(z) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{z^2}{2}} $$
它的累积分布函数为：
$$ Phi(z) = int_{-infty}^{z} phi(z) dz $$
现在我们来推导正态分布标准化的公式：
令 $X$ 为均值为 $mu$，标准差为 $sigma$ 的正态分布的随机变量，即 $X sim N(mu,sigma^2)$。我们要将 $X$ 转化为标准正态分布 $Z$，即 $Z = frac{X - mu}{sigma}$。
我们可以求出 $Z$ 的概率密度函数和累积分布函数：
$$ begin{aligned} P(Z leq z) &= P(frac{X - mu}{sigma} leq z) &= P(X leq sigma z + mu) &= F(sigma z + mu) end{aligned} $$
对 $z$ 求导，得到：
$$ begin{aligned} frac{d}{dz} P(Z leq z) &= frac{d}{dz} F(sigma z + mu) &= f(sigma z + mu) cdot frac{d}{dz} (sigma z + mu) &= f(sigma z + mu) cdot sigma end{aligned} $$
将 $f(x)$ 带入，得到：
$$ frac{d}{dz} P(Z leq z) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{(sigma z + mu - mu)^2}{2sigma^2}} cdot sigma $$
化简，得到：
$$ frac{d}{dz} P(Z leq z) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{z^2}{2}} $$
这就是标准正态分布的概率密度函数 $phi(z)$。
因此，我们可以得到正态分布标准化的公式：
$$ P(X leq x) = P(frac{X - mu}{sigma} leq frac{x - mu}{sigma}) = Phi(frac{x - mu}{sigma}) $$
其中，$Phi(z)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
