具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：
第一步 解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；
第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；
第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值
已知函数 （假设函数平滑，即可微），在三维空间中的对应图形是一个曲面。
若要函数在 取得极值，需要满足：过该点由任意方向上的无限大平面所截得的
无数条曲线均在此处同时取极大（小）值。
任意取一方向，该方向上的单位矢量为出现判别式为0的情况，那么按照之前的推论就要考虑第三阶的泰勒展开式
事实上，如果不是ABC都等于0的情况，那么只要考虑二次式为0的那个方向的3阶方向导数即可，不必全盘考虑
二元函数极值点的定义
对于函数f（x，y）在I上有定义，若在f(x0，y0)处， ,则称(x0,y0)为一个极大（小）值点，极大值点和极小值点统称为极值点
以下以极小值点为例
若要证明极小值点，那么则证明这个点领域内的函数值都大于这个函数值就行了
为了方便比较，将函数
在 处用泰勒展开式展开
那先看ac-b²是否大于0，如果ac-b²>0的话，那驻点（如果有驻点的话)就是极值点；如果ac-b²<0的话，那驻点就不是极值点，函数就没有极值了
若AC-B²>0，A>0则为极小值
若AC-B²>0，A＜0则为极大值
若AC-B²<0，则一定不是极值
若AC-B²=0,则可能取得极值，也可能取得不是极值。
设：二元函数 f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),
即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；
记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²
B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
C=∂²f(x0,y0)/∂y²
∆=AC-B²
（1）AC-B*B>0时有极值
（2）AC-B*B<0时没有极值
（3）AC-B*B=0时可能有极值，也有可能没有极值
如果：∆>0
(1) A>0,f(x0,y0) 为极小值；这是一个判断的方法
