调和函数的第一个惊人性质是它的解析性，也就是说，调和函数在定义域内每一点是可以进行无穷次泰勒展开的，这就意味着调和函数是光滑的，或者说无穷次可导的。为什么说这个性质好呢？注意到，定义调和函数时我们仅仅要求它存在二阶偏导数，但实际上这样的定义只用极少的要求就保证了函数的光滑性，可谓化腐朽为神奇。
但解析性并非调和函数的本质特征，实际上，调和函数的最本质的性质是满足所谓的平均值原理。而且为了获得调和函数更好的性质，一般我们会在有界区域中考虑这些问题，还会要求函数具有连续或可导的边值。那么，什么是平均值原理呢？简单来说，就是函数u在一点x的值等于函数在以x为中心的球区域中体积积分或面积积分的平均值(通过简单的积分计算可以证明，这两种积分平均值是等价的)：
为什么说平均值原理是调和函数最本质的特征呢，这是因为调和函数几乎所有的重要性质都可以从平均值原理推导出来，例如上面说过的解析性。而且更重要的是，平均值性质完全刻画了调和函数，这就是如下的结论：
调和函数的另一个重要性质是极值原理：
调和函数如果不是常数，那么它不能在内部取到极大值或极小值。
由极值原理，我们立即可以获知，调和函数由其边值唯完全决定：
如果我们从更高的角度来看调和函数，也就是将定义△u=0看成是一个偏微分方程(准确来说是一个拉普拉斯方程)，那么调和函数就是这个方程的解，而极值原理就告诉我们，在给定边值的情况下，解是唯一的。实际上，如果区域足够特殊(一般来说是球)的话，我们是可以通过边值条件直接得到这个解的，而这又要涉及到泊松积分，泊松积分又要联系着格林函数。
