我们只要捋清不定积分和定积分的关系应该就能清楚问题的答案了
先看不定积分：不定积分其实就是全体原函数，或者说是全体反导函数，关于不定积分有明确的存在定理：
定理1：如果函数 在区间 上连续（无论开区间，闭区间），那么 在区间 上存在不定积分
但这句话反过来是不对的，如果 在区间 上存在不定积分，他也不一定是连续的
定理2：如果函数f在区间I上有第一类间断点，那么函数f在区间I上没有不定积分
所以题主所说，定义在闭区间上的函数有不定积分，不能推出这个函数一定是一个连续函数，他有可能是一个有无穷多个第二类间断点（至多不可数）的函数
那么接下来我们来看定积分：关于定积分的定义我就不再叙述了，我们直接看定积分的存在定理：
一共有四条：
定理3：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理4：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理5：设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。
最重要的我们根据
定理6:一个有界函数函数黎曼可积当且仅当其所有不连续点集合是零测集
你会发现上面提到那个病态的函数是不可积分的
题主的问题我们回答完了，答案是否定的，那什么样的函数一定可以同时存在不定积分和定积分呢，或者一定不可以：
通过上面五个定理我们可以得到两个结论：
通过定理1和定理3可知在闭区间I上连续函数f一定能同时存在不定积分和定积分
通过定理2个定理4可知在闭区间I上，有界且有有限个第一类间断点的函数f，一定不存在不定积分，一定存在定积分
