对于矩阵方程 $Ax=b$，它的解可以表示为 $x=sum_{i=1}^{n}c_i boldsymbol{v_i}$，其中 $c_i$ 为任意常数，$boldsymbol{v_1}, boldsymbol{v_2}, ..., boldsymbol{v_n}$ 是矩阵 $A$ 的列向量。
而对于方程 $Ax=0$，它的解（也称为“零空间”或“核”）可以表示为 $x=sum_{i=1}^{k}c_i boldsymbol{v_i}$，其中 $c_i$ 为任意常数，$boldsymbol{v_1}, boldsymbol{v_2}, ..., boldsymbol{v_k}$ 是矩阵 $A$ 的列向量构成的向量组，且这个向量组满足 $sum_{i=1}^{k}c_i boldsymbol{v_i}=0$。
解释一下这个结论：当 $Ax=0$ 时，等价于是在求 $Ax=b$ 中的齐次解，即 $Ax=0$ 的所有解。解向量 $x$ 可以表示为自由变量与基础解系的线性组合，其中自由变量的个数就是解空间的维数。基础解系也就是上面提到的列向量构成的向量组 $boldsymbol{v_1}, boldsymbol{v_2}, ..., boldsymbol{v_k}$，它们的个数也就是解空间的维数。
因此，对于方程 $Ax=0$，解空间的维数等于矩阵 $A$ 的列空间的维数（也就是入门线性代数教材中常见的“秩”）减去矩阵 $A$ 的秩。即：$
ext{dim}(Nul(A))=
ext{dim}(Cols(A))-
ext{rank}(A)$。
对于 $ax=0$ 这个方程，它的矩阵 $A$ 是一个 $1
imes 1$ 的矩阵，只有一个元素 $a$，因此它的列空间和秩均为 1。如果 $a
eq 0$，那么 $A$ 的秩也为 1，根据上面的公式，解空间的维数就是 $1-1=0$。也就是说，只有一个常数解 $x=0$。如果 $a=0$，那么 $A$ 的秩为 0，根据上面的公式，解空间的维数就是 $1-0=1$。也就是说，解空间只包含一个自由变量，解空间的维数为 1，解向量为 $x=c$，其中 $c$ 是任意常数。
