三阶行列式可以用来解三元一次方程组。假设有以下三元一次方程组：
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
可以将其表示为矩阵形式：
⎡a₁ b₁ c₁⎤ ⎡x⎤ ⎡d₁⎤
⎢a₂ b₂ c₂⎥ ⋅ ⎢y⎥ = ⎢d₂⎥
⎣a₃ b₃ c₃⎦ ⎣z⎦ ⎣d₃⎦
然后计算行列式的值，如果行列式的值不等于0，即det(A) ≠ 0，则方程组有唯一解。此时可以通过计算逆矩阵来求解方程组：
A⁻¹ ⋅ ⎡d₁⎤ = ⎡x⎤
⎢d₂⎥ ⎢y⎥
⎣d₃⎦ ⎣z⎦
其中A⁻¹是矩阵A的逆矩阵。根据逆矩阵的定义，可以通过行列式的值和伴随矩阵来计算逆矩阵：
A⁻¹ = (1/det(A)) ⋅ adj(A)
其中adj(A)是矩阵A的伴随矩阵。将逆矩阵代入方程组，即可求解得到x、y和z的值。
