圆周率是无理数是怎么证明的

2023-10-23 19:21:17 121次

问题描述：

圆周率用无理数表示

2023-10-23 19:21:17

圆周率是无理数的证明可以通过不同的方法进行，其中最著名的是由德国数学家林德曼（Ferdinand von Lindemann）于1882年提出的著名的林德曼-韦尔斯特拉斯定理（Lindemann-Weierstrass theorem）。该定理的证明基于代数学和解析几何的理论。

简单来说，林德曼-韦尔斯特拉斯定理表明，如果一个数是代数数（即可以通过代数方程的根来表示），且该数不是整数倍的有理数，那么它的指数函数（如e^x）的代数扩展是超越扩展（即无理数）。

通过应用林德曼-韦尔斯特拉斯定理，可以得出结论：假设圆周率（π）是有理数，那么它可以通过一个代数方程的根来表示。然而，根据圆的性质，我们可以证明圆周率是无理数，因此导致一个悖论，从而证明了圆周率是无理数。

需要注意的是，这只是圆周率是无理数的一种证明方法，还有其他的证明方法，如连分数展开法、傅里叶级数法等。每种方法都有其独特的思路和数学原理。

2023-10-23 19:21:17

圆周率是一个无限不循环小数，它的小数部分是无限的、无规律的。因此，圆周率不能表示为两个整数的比值，也不能表示为分数的形式。

证明圆周率是无理数的方法有很多种，其中最著名的是利用反证法。假设圆周率是有理数，那么可以将其表示为两个互质整数的比值，即：

π = a/b

其中a和b互质，即它们的最大公约数为1。由于π是一个无限不循环小数，所以它可以表示为无限个这样的分数的和，即：

π = Σ(a/b)

其中n是一个正整数。将这个式子代入上面的式子中，得到：

Σ(a/b) = a/b

两边同时乘以b,得到：

Σa = a

移项可得：

Σa - a = 0

化简可得：

Σa = a/1

这说明a必须等于1,因为只有当a=1时，上式才能成立。但是，如果a=1,那么圆周率就不能表示为两个互质整数的比值了，因为1和任何整数都是互质的。因此，假设不成立，圆周率是无理数。

2023-10-23 19:21:17

当年,兰伯特发现,tan(x)可用如下的连分式展开表示: 然后,他证明了倘若x是非零的有理数,那么,上述表达式肯定就是一个无理数。由于tan(π/4)=1,1是有理数,所以π/4是一个无理数,由此就证明了圆周率π是一个无理数。