欧拉常数是自然对数级数的极限，可以用下面的公式定义：
γ = lim(n→∞) [1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 - ln(n)]
证明欧拉常数的方法有很多种，下面介绍其中一种较为简单的证明方法：
1. 首先证明级数1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 - ln(n)收敛。这可以使用柯西收敛准则来证明，即证明级数的部分和数列是单调递增有上界的。具体证明过程请参考柯西收敛准则的相关知识。
2. 接下来证明级数的极限存在。我们可以利用级数的柯西收敛准则和夹逼定理来证明，具体证明过程如下：
设Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 - ln(n)，则对于任意正整数m > n，有：
Sm - Sn = (1+1 + 1+2 + ... + 1/m) - ln(m) + ln(n)
根据调和级数的性质，有：
1+1 + 1+2 + ... + 1/m < ln(m) - ln(n)
因此：
0 < Sm - Sn < ln(m)
当n趋近于无穷大时，ln(m)趋近于0，由夹逼定理可知Sn收敛。
3. 最后证明级数的极限就是欧拉常数γ。这可以利用斯特林公式来证明，具体证明过程如下：
斯特林公式表示n!的近似值为(n/e)^n * sqrt(2πn)，即：
n! ≈ (n/e)^n * sqrt(2πn)
两边取对数，得到：
ln(n!) ≈ n*ln(n) - n + 1/2*ln(2πn)
将n!拆分成n个项的乘积，得到：
n! = 1 * 2 * 3 * ... * n
ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ln(3) + ... + ln(n)
因此：
ln(n!) = (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1) * n - ln(n) + O(1)
其中O(1)表示一个小量，随着n的增大而趋于0。
当n趋近于无穷大时，O(1)趋近于0，因此：
γ = lim(n→∞) [1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 - ln(n)]
= lim(n→∞) [ln(n!) - n + 1]
= 0 + 1
= 1
因此，欧拉常数的值为1。
