∑（∞，n→0）(2n+1)x^n R=lim|2n-1/2n+1|=1 x=1时∑（∞，n→0）(2n+1)发散， x=-1时∑（∞，n→0）(-1)^n(2n+1)也发散， 所以收敛域为（-1，1） 令s(x)=∑（∞，n→0）(2n+1)x^n=∑（∞，n→1）2nx^n+∑（∞，n→0）x^n 再令∑（∞，n→1）2nx^n=s1(x) s1(x)=2x∑（∞，n→1）nx^(n-1) =2x∑（∞，n→1）(x^n)' =2x(∑（∞，n→1）x^n)' =2x[x/(1-x)]' =2x/(1-x)^2 而∑（∞，n→0）x^n=1/(1-x) 所以s(x)=2x/(1-x)^2+1/(1-x)=(1+x)/(1-x)^2 ∑（∞，n→0）(2n+1)x^n=(1+x)/(1-x)^2,x属于（-1，1）
问指数为2n+1无穷级数求收敛区间
问题描述：
指数为无穷大的极限
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要确定指数为2n+1的无穷级数的收敛区间，我们可以利用庞加莱判别法来进行判定。首先，考虑以下级数：∑ 1^(1/2n+1) = ∑ 1/[n^((1/2)n) * n]可以计算该级数的极限值：lim(n→∞) (1^(1/2n+1)) = ∑ 1^(1/2n)在极限n趋近于无穷大的情况下，n^(1)的极限是1。因此，原始级数可以简化为：∑ 1这就是经典的调和级数，其收敛区间为(0,∞)。所以，指数为2n+1的无穷级数的收敛区间也是(0,∞)。
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