有界函数的极限存在吗?
有界函数不一定有极限。有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。
有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ（D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ(x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近－1或1时，函数的值就变得越来越大。
函数的性质：
1、单调性
闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。
2、连续性
闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
3、可积性
闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
不是！有界函数不一定有极限！例如函数:当x为有理数时取0，当x为无理数时取1，为有界函数。但它在实数轴上的任意一点都没有极限（有理数序列趋近于该点时取极限0，无理数序列趋近于该点时取极限1）。
不是说有极限的函数，只有局部有界性，不能有定义域内全部有界。
而是说，有极限的函数，能确保极限点附近的某个局部一定是有界的，但是无法确保定义域内有界。
或者说，定义域内无界的函数，并不是在定义域内任何一点都没有极限。
比方说f（x）=x²，这个函数在定义域内就是无界的，但是在任何一点都是有极限的。那么在任何一点的局部范围内，就都是有界的。
所以如果要求有极限就必须定义域内全部有界，那么其实就等于拒绝承认无界函数在定义域内的点，也可能有极限的情况。
有界函数的极限不一定存在，如sinx当x趋于无穷极限不存在，但单调有界函数的极限一定存在。
