微分方程线性与非线性
1. 解的形式不同：线性微分方程的解可以表示为一组线性无关的函数的线性组合，而非线性微分方程的解则通常不能用这种形式来表示。
2. 数值方法求解不同：对于线性微分方程，经典的数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等都可以得到较好的结果。而对于非线性微分方程，相对复杂一些的数值算法如龙格-库塔法等，则更加适用。
3. 稳定性分析不同：在稳定性分析中，线性微分方程通常有较好的可控制、可预测性，而非线性微分方程则常常具有混沌和随机等不可预测特征。
4. 物理背景和应用领域不同：许多物理学和工程问题可以被描述为线性微分方程，例如机械振动和热传导等。而非线性微分方程则更适用于描述生物、天气、金融等问题。
①定义不同
线性微分方程是指关于未知函数及其导数的一阶或高阶线性方程，其中函数和其导数只有一次出现，且系数为常数或已知函数。非线性微分方程则是指未知函数及其导数以非线性方式出现的微分方程，系数可以是未知函数、导数、已知函数、常数等。
②解的性质不同
对于线性微分方程，其解具有可加性和叠加性，也就是说，若 $y_1$ 和 $y_2$ 是该方程的两个解，则任何 $y=c_1y_1+c_2y_2$ 都是该方程的解，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。而非线性微分方程的解通常不具有可加性和叠加性。
微分方程的线性与非线性，主要区别在于方程中未知函数和其导数的组合方式是否是线性的。
如果方程中未知函数和其导数的组合方式是线性的，即可以表示成未知函数和其导数的一次线性组合，那么这个微分方程就是线性微分方程。
反之，如果未知函数和其导数的组合方式不是线性的，那么这个微分方程就是非线性微分方程。线性微分方程有着比较明确的求解方法，可以通过求解特征方程和齐次方程来得到通解；而非线性微分方程的求解相对较为复杂，通常需要利用一些特殊的数值方法或近似解法来求解。
对于线性微分方程，其中只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如：siny、cosy、tany、lny、lgx、y²、y³。
若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。
