勒让德变换公式是指将函数 $f(x)$ 从自变量 $x$ 变换到自变量 $y$ 的变换公式，即 $f(x)$ 在 $x$ 点的导数和 $y$ 点的导数之间的关系。公式如下：
$$frac{df(x)}{dx}=frac{df(y)}{dy}frac{dy}{dx}$$
其中，$frac{dy}{dx}$ 是变换的导数系数，也称为勒让德变换。
为了推导勒让德变换公式，我们可以考虑函数 $f(x)$ 在 $x$ 点附近的泰勒展开式：
$$f(x+Delta x)=f(x)+frac{df(x)}{dx}Delta x+frac{1}{2}frac{d^2f(x)}{dx^2}(Delta x)^2+cdots$$
将上式中的 $x$ 替换成 $y$，$Delta x$ 替换成 $Delta y$，得到：
$$f(y+Delta y)=f(y)+frac{df(y)}{dy}Delta y+frac{1}{2}frac{d^2f(y)}{dy^2}(Delta y)^2+cdots$$
将上式减去下式：
$$f(x+Delta x)=f(x)+frac{df(x)}{dx}Delta x+frac{1}{2}frac{d^2f(x)}{dx^2}(Delta x)^2+cdots$$
$$f(y)=f(x)+frac{df(x)}{dx}(y-x)+frac{1}{2}frac{d^2f(x)}{dx^2}(y-x)^2+cdots$$
得到：
$$f(y+Delta y)-f(y)=frac{df(x)}{dx}Delta y+frac{1}{2}frac{d^2f(x)}{dx^2}Delta y^2+cdots$$
将上式除以 $Delta y$，并令 $Delta y
ightarrow 0$，得到：
$$frac{df(y)}{dy}=frac{df(x)}{dx}frac{dx}{dy}$$
即：
$$frac{df(x)}{dx}=frac{df(y)}{dy}frac{dy}{dx}$$
这就是勒让德变换公式的推导过程。
