火车晚点申请赔偿的方式是向铁路部门申请。根据相关法律规定，承运人迟延运输或者有其他不能正常运输情形，由此造成旅客损失的，承运人应当承担赔偿责任，但是不可归责于承运人的除外。
《中华人民共和国民法典》第八百二十条
承运人应当按照有效客票记载的时间、班次和座位号运输旅客。承运人迟延运输或者有其他不能正常运输情形的，应当及时告知和提醒旅客，采取必要的安置措施，并根据旅客的要求安排改乘其他班次或者退票；由此造成旅客损失的，承运人应当承担赔偿责任，但是不可归责于承运人的除外。
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