交通事故肇事司机逃逸的处理方式：
1、肇事司机不构成犯罪的，由公安机关处以罚款，可以并处拘留；
2、肇事司机构成犯罪的，除追究刑事责任外，由公安机关吊销机动车驾驶证，并终生不得重新领取机动车驾驶证。
《中华人民共和国刑法》第一百三十三条
违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
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