超市顾客受伤应该这样请求保险赔偿：
1.报案，说明受伤的具体经过；
2.查勘定损。检验人员在接保险公司内勤通知后1个工作日内完成现场查勘和检验工作；
3.当事人签收审核索赔单证；
4.保险公司对保险费用进行理算复核；
5.保险公司审批并且赔付结案。
《民法典》第一千一百九十八条
宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
因第三人的行为造成他人损害的，由第三人承担侵权责任；经营者、管理者或者组织者未尽到安全保障义务的，承担相应的补充责任。经营者、管理者或者组织者承担补充责任后，可以向第三人追偿。
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