肇事逃逸方不付医药费，伤者先申请由承保交强险的保险公司或道路交通事故社会救助基金先行垫付部分或者全部抢救费用。然后伤情转好后可以向人民法院提起诉讼，要求其进行赔偿，法院判决后仍不执行的，可以向人民法院申请强制执行。
《道路交通安全法》第七十四条
对交通事故损害赔偿的争议，当事人可以请求公安机关交通管理部门调解，也可以直接向人民法院提起民事诉讼。经公安机关交通管理部门调解，当事人未达成协议或者调解书生效后不履行的，当事人可以向人民法院提起民事诉讼。
第七十五条
肇事车辆参加机动车第三者责任强制保险的，由保险公司在责任限额范围内支付抢救费用；抢救费用超过责任限额的，未参加机动车第三者责任强制保险或者肇事后逃逸的，由道路交通事故社会救助基金先行垫付部分或者全部抢救费用，道路交通事故社会救助基金管理机构有权向交通事故责任人追偿。
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