交通事故全责方不垫付的，没什么后果。交强险会依法垫付抢救费用，但如果之后，肇事者不赔偿或者没钱赔偿的，那么很可能面临法律的处罚，如果无力赔偿的数额达到一定的范围，还需要承担刑事责任。
《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条
保险公司可以向被保险人赔偿保险金，也可以直接向受害人赔偿保险金。但是，因抢救受伤人员需要保险公司支付或者垫付抢救费用的，保险公司在接到公安机关交通管理部门通知后，经核对应当及时向医疗机构支付或者垫付抢救费用。
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