应该对劳动法律法规的执行情况进行监督检查的是县级以上地方人民政府的劳动行政部门。国务院的劳动行政部门负责全国劳动合同制度实施的监督管理。而县级以上地方人民政府的劳动行政部门负责监管本行政区域内劳动合同制度的实施。
《《中华人民共和国劳动合同法》》第七十三条国务院劳动行政部门负责全国劳动合同制度实施的监督管理。
县级以上地方人民政府劳动行政部门负责本行政区域内劳动合同制度实施的监督管理。
县级以上各级人民政府劳动行政部门在劳动合同制度实施的监督管理工作中，应当听取工会、企业方面代表以及有关行业主管部门的意见。
《《中华人民共和国劳动合同法》》第七十四条县级以上地方人民政府劳动行政部门依法对下列实施劳动合同制度的情况进行监督检查：
（一）用人单位制定直接涉及劳动者切身利益的规章制度及其执行的情况；
（二）用人单位与劳动者订立和解除劳动合同的情况；
（三）劳务派遣单位和用工单位遵守劳务派遣有关规定的情况；
（四）用人单位遵守国家关于劳动者工作时间和休息休假规定的情况；
（七）法律、法规规定的其他劳动监察事项。
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