员工拒绝和公司签订劳动合同，公司可以依法辞退该名员工，因为根据《劳动合同法》，建立劳动关系，必须订立书面劳动合同，员工无正当理由拒绝签订劳动合同，是不合法的，如果公司没有签劳动合同，会面临法律风险。
《《中华人民共和国劳动合同法》》第十条建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。
已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。
《《中华人民共和国劳动合同法》》第八十二条用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
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