中点公式

中点公式是定比分点公式的特例，利用中点公式，已知平面内两个点的坐标就可以求出它的中点坐标，此外还可解决一类关于某点对称的问题。

中点公式详细介绍

中点公式是定比分点公式的特例，利用中点公式，已知平面内两个点的坐标就可以求出它的中点坐标，此外还可解决一类关于某点对称的问题。

中点公式基本介绍

设

是平面直角坐标系内的任意两点，点

是线段

的中点。过点

分别向

轴作垂线，垂足分别为

，如图1所示。

因为点

为线段

的中点，根据平行线的性质，点

分别是线段

和

的中点，即

所以

，即

这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式。同样也可以将中点公式推广到三维的情况。

应用举例

求连接下列两点的线段的中点坐标。

解: (1)设线段

的中点坐标为

，则根据中点坐标公式可得

所以线段

的中点坐标为

。

(2) 设线段

的中点坐标为

，则根据中点坐标公式可得

所以线段

的中点坐标为

。

中点公式相关知识

点在平面直角坐标系中的表示：

；

两点

之间的距离：

。

中心对称：关于点的对称问题

点关于点的对称

如果点

关于点M对称，则M是线段

的中点。

解析：依据中点坐标公式：

【

】→(关于点

的对称点)→【

】

【

】→(关于坐标原点的对称点)→ 【

】

曲线关于点的对称

【

】→(关于点

的对称曲线)→【

】

【

】→(关于坐标原点的对称曲线)→ 【

】

解析：设

是曲线

上的任意一点，

关于

的对称点为

，因为

在曲线

上，所以，

，即

的坐标是方程

的解。

轴对称问题：关于直线的对称问题

点P关于直线

的对称点

过点P做

的垂线，垂足为N，延长PN到P’，使

，则

是线段

的中点，

，N在直线

上。

设

关于直线

的对称点为

，则有

其中第一个方程式是因为

在直线

上)，第二个方程式是因为

。

解得：

曲线关于直线

的对称

曲线

关于直线

的对称曲线

的方程解题步骤：

①设

是曲线

上任意一点，求点

关于直线

的对称点

的坐标。

②因为

在曲线

上，则

的坐标方程是

的解，将

的坐标代入曲线

的方程，化简即得

的方程。