通项公式

如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式（general formulas）。有的数列的通项可以用两个或两个以上的式子来表示。没有通项公式的数列也是存在的，如所有质数组成的数列。

通项公式详细介绍

如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式（general formulas）。有的数列的通项可以用两个或两个以上的式子来表示。没有通项公式的数列也是存在的，如所有质数组成的数列。

通项公式定义

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数的项，各项依次叫做第1项（或首项），第2项，...，第n项，...。数列也可以看作是一个定义域为自然数集N（或它的有限子集{1,2,3，...，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

数列的一般形式可以写成a₁，a₂，...，a_n，...，其中an是数列的第n项，也可简记为{a_n}.

如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。

例1 已知数列{a_n}的通项公式为

解：

例2 依据给出的前四项

解：因为

通项公式性质

若已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1,2,3,...去代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项。



不是任何一个无穷数列都有通项公式，如所有的质数组成的数列就没有通项公式。
给出数列的前n项，通项公式不唯一。
有的数列的通项可以用两个或两个以上的式子来表示。

通项公式等差数列通项公式

如果等差数列{a_n}，公差为d，则a_n=a₁+(n-1)d，这就是等差数列{a_n}的通项公式。

注：

1、）因为a_n=nd+(a₁-d)，所以等差数列的图象是横坐标为自然数列的同一条直线上一些分散的点，公差d的几何意义是该直线的斜率。

2）等差数列{a_n}的通项公式还可由以下公式确定：

①a_n=a_m+(n-m)d，

②a_m+n=(ma_m-na_n)/(m-n)

3)等差数列{a_n}的公差d可由公式d=(a_n-a_m)/(n-m)确定。

例3 在100以内有多少个能被7整除的自然数？

解 100 以内能被7整除的自然数构造一个等差数列，其中a₁=7，d=7.由

通项公式等比数列通项公式

如果等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则数列a_n的通项公式为a_n=a₁q.

注：

1、）因为a_n=a₁q，所以当q>0且q≠1时，等比数列的图象是横坐标为自然数的同一条指数函数上一些分散的点。

2）等比数列{a_n}的通项公式还可由a_n=a_mq公式确定。

例4 已知等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，写出其通项公式。

解：显然其通项公式为a_n=2.