三割线定理是调和点列中的一个熟知结论，却曾被民间数学家多次发现.三割线定理可表述为：PAB、PCD为⊙O的两任意割线，AD与BC交于Q，PQ交⊙O于E、F，则1/PE+1/PF=2/PQ
三割线定理是调和点列中的一个熟知结论，却曾被民间数学家多次发现.三割线定理可表述为：PAB、PCD为⊙O的两任意割线，AD与BC交于Q，PQ交⊙O于E、F，则1/PE+1/PF=2/PQ
推广：自二次曲线L外一点P作直线交L于A,B,C,D,弦AD,BC交于Q,PQ交L于E,F,则1/PE+1/PF=2/PQ
三角函数证法
在这里仅考虑二次曲线为圆的情况
连BF、DF、AE、CE
由AE内分∠PAQ→由分角定理→
(EQ/PE)=(sin∠EAQ/sin∠PAE)（sin∠APQ/sin∠AQP）
由CE内分∠PCQ→由分角定理→
(EQ/PE)=(sin∠ECQ/sin∠ECP)（sin∠CPQ/sin∠CQP）
由∠EAQ=∠DFE=∠ECP，∠PAE=∠EFB=∠ECQ→
（EQ·EQ）/（PE·PE）=（sin∠APQ·sin∠CPQ）/（sin∠AQP·sin∠CQP）⑴。
由BF外分∠PBQ→
(FQ/PF)=(sin∠FBQ/sin∠PBF)（sin∠APQ/sin∠BQP○）
由DF外分∠PDQ→
(FQ/PF)=(sin∠FDQ/sin∠PDF)（sin∠CPQ/sin∠DQP○）
由∠FBQ与∠PDF，∠PBF与∠FDQ互补，→
（FQ·FQ）/（PF·PF）=（sin∠APQ·sin∠CPQ）/（sin∠CQP○·sin∠AQP○）⑵，（○表示互补）
⑴⑵→EQ/PE=FQ/PF→（PQ－PE）/PE=（PF－PQ）/PF→（PQ/PE）－1=1－（PQ/PF）→
PQ/PE+PQ/PF=2→1/PE+1/PF=2/PQ。证毕。
几何证法
在这里仅考虑二次曲线为圆的情况在PE上取一点G，使=PQ*PG=PA*PB=PC*PD
易证AQGB共圆，圆心为O1，BCQG共圆，圆心为O2
∵两圆圆心的连线段垂直于两圆交点的连线段
∴O1O2⊥PF，O1O⊥PB，O2O⊥PD
∴∠O2O1O=∠BPF，∠O1O2O=∠DPF
易证∠BGQ=∠PCQ=180°-∠BAQ
∴∠QBG=∠DPF，∠GO1O2=∠QBG=∠DPF，同理可得：∠GO2O1=∠BPF
∴∠O2O1O=∠GO2O1，∠O1O2O=∠GO1O2，△O1O2G≌△O1O2O(AAS)
∴四边形O1O2OG为等腰梯形，OG∥O1O2
又O1O2⊥PB，故OG⊥PB，垂径定理得：G为EF中点
∴2PG=PE+PF
又PG*PQ=PA*PB=PE*PF，∴2PG*PQ=2PE*PF
∴(PE+PF)*PQ=2PE*PF，等式两端同时除以PE*PF*PQ得：
1、/PE+1/PF=2/PQ。证毕。
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