平均曲率

平均曲率（mean curvature） 是微分几何中一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

平均曲率介绍

平均曲率（mean curvature） 是微分几何中一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

平均曲率是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K = (K1 +K2 ) / 2。

平均曲率基本介绍

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。

曲面的两个主曲率之积K=k₁k₂叫曲面的高斯曲率，两个主曲率的平均值

叫做曲面的平均曲率。

平均曲率定义

令p是曲面S上一点考虑S上过p的所有曲线Ci。每条这样的Ci在p点有一个伴随的曲率Ki在这些曲率Ki中，至少有一个极大值κ1 与极小值κ2这两个曲率κ1,κ2称为S的主曲率。

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

这里 E,F,G 是第一基本形式的系数，L,M,N 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999, 第4卷，第7章)，一个超曲面 T 的平均曲率为：

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 。

另外，平均曲率 H 可以用共变导数

这里利用了高斯-Weingarten 关系，X(x,t) 是一族光滑嵌入超曲面， 为单位法向量，而gij 是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 S 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

平均曲率三维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 z = S(x,y)，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

平均曲率流体力学

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

H_f=(k₁+k₂)

这出现于杨-拉普拉斯方程中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 Hf；两个曲率等于小滴半径的倒数 κ1 = κ2 = r ^-1。

平均曲率极小曲面

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链面、螺旋面、Scherk 曲面与 Enneper 曲面。新近发现的包括 Costa 极小曲面（Costa's mimimal surface，1982年）与Gyroid（Gyroid，1970年）。 极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006, 4.6节)。

平均曲率参见

高斯曲率

平均曲率流

逆平均曲率流

面积公式第一变分

平均曲率注释

Dubreil-Jacotin on Sophie Germain

Curvature in the Calculus Curriculum

关于角度的平均值。