在数学分析中，以Marc-Antoine Parseval命名的帕塞瓦尔恒等式是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。表示可积函数与其傅里叶系数之间关系的恒等式。从几何观点来看，这就是内积空间上的毕达哥拉斯定理。
在数学分析中，以Marc-Antoine Parseval命名的帕塞瓦尔恒等式是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。表示可积函数与其傅里叶系数之间关系的恒等式。从几何观点来看，这就是内积空间上的毕达哥拉斯定理。
它由帕塞瓦尔(Parseval，C.M.-A.)于1805年提出但未证明。对于黎曼可积函数情形是李亚普诺夫(Ляпунов，А.М.)于1896年证明的。1906年，勒贝格(Lebesgue，H.L.)对于勒贝格平方可积函数给出证明。
Marc-Antoine Parseval desChênes（1755年4月27日 - 1836年8月16日）是法国数学家，最着名的是现在被称为帕塞瓦尔定理，预示了傅立叶变换的单一性。
他出生在法国的Rosières-aux-Salines，成为一个贵族法国家庭，并于1795年与Ursule Guerillot结婚，但此后不久离婚。一个反对法国革命的君主主义在1792年被监禁，Parseval后来逃离了国家出版批评拿破仑政府的诗歌。
后来，他被提名为法国科学院五次，从1796年到1828年，但从未当选。他的唯一的数学出版物显然是在1806年发表的五篇论文，以数学家和物理学家的身份发表。
他在1799年的第二个回忆录中提到，但没有证明，现在这个名字的定理。他在1801年的回忆录中进一步扩展，并用它来解决各种微分方程。这个定理在1800年被第一次印刷成Lacroix的“特征之都”（P377）。
通俗地说，帕塞瓦尔恒等式表明“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算：
,
在这里
的傅里叶系数可通过下式计算得到：,
正式一点地说，结论成立的前提是上面提到的
必须是平方可积函数，或者更一般地说，要是在中（参见LP空间）。一个与之相似的结果就是Plancherel定理,它指出函数的傅里叶转换的平方和的积分等于函数本身平方的积分。帕塞瓦尔恒等式与毕达哥拉斯定理在如下更具一般性的情形下存在联系，下面说的是一种拓扑可分离的希尔伯特空间。假设
是一个具有内积〈·,·〉的希尔伯特空间，令是的一组正交基；也就是说，的线性张成是中的稠密集，且彼此正交：
利用帕塞瓦尔恒等式随即可以断言对于任何
，有：这个式子与毕达哥拉斯定理有着显而易见的相似性，后者指出“向量的正交分量的平方和”等于“向量长度（模）的平方”。由此也不难得到傅里叶级数版本的帕塞瓦尔恒等式，只需让
取代，并对于所有，令。更一般地说，帕塞瓦尔恒等式在任何内积空间中都成立，而不只局限于希尔伯特空间。因此假定
是一个内积空间。令表示的一组正交基;换句话说，是一个其线性张成在中稠密的正交集合。然后可得：“
是全体的总和”这一假定对于恒等式的有效性是不可或缺的。如果不是
毕达哥拉斯定理也叫做勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
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