幂平均

幂平均（power mean）也叫广义平均（generalized mean）或赫尔德平均（Hölder mean），是毕达哥拉斯平均（包含了算术、几何、调和平均）的一种抽象化。

幂平均介绍

幂平均（power mean）也叫广义平均（generalized mean）或赫尔德平均（Hölder mean），是毕达哥拉斯平均（包含了算术、几何、调和平均）的一种抽象化。

幂平均定义

若p是一非零实数，可定义实数

幂平均性质

（1）和所有平均一样，幂平均是各参数

（2）与几何算术平均一样，这种平均的计算可以分解成同样大小的子块来计算。

（3）一般地，如果 p<q，则

得出，上述不等式可由琴生不等式证明。

特别地，对

幂平均特例

幂平均不等式的证明

幂平均不等式之等价

假设指数p与q的幂平均间有不等式：

则

我们在两边取倒数（正实数上的严格递减函数，不等号反向）：

我们得到了关于 -p与 -q的幂平均不等式，同样的推理可以倒推，从而证明了两个不等式等价，这在后面的证明中将用到。

幂平均几何平均

对任何q，指数为q的幂平均与几何平均之间的不等式为：

（第一个不等式对正数q，第二个对负数）

我们在两边取q次幂：

两种情形我们都得到关于

两边取指数函数（严格递增），我们得到了不等式：

从而对任何正数q，下式成立：

因为此不等式对任何q成立，足够小同样成立，可以将证明（利用洛必达法则），当q趋于 0 时，左右两边趋于几何平均，q趋于 0 时的幂平均是几何平均：

幂平均幂平均不等式

我们将证明对任何p<q如下不等式成立：

如果p是负数且q是正数，不等式等价于上面已证过的

对正数p与q的证明如下：定义函数

利用这一点以及琴生不等式，我们得到：

两边取 1/q次幂（递增函数，因 1/q 为正数）我们得到了欲证之不等式：

最后使用先前证过的等价性，我们得到了关于负数p与q的不等式，证毕。

幂平均推广

幂平均可以推广到更一般的广义f-平均：

例如这包括了几何平均而勿需使用极限。幂平均是由

幂平均应用

信号处理

幂平均作为一个非线性移动平均。对于小p 值，幂平均比较偏重小信号值，对于大 p 值，幂平均则会强调大信号值。对于大 p 值，这可作为一个整流信号的包封检测器（envelope detector）。对于小 p值，这可作为一个质量谱的基线侦测器（baseline detector）。