数论函数

在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。

数论函数详细介绍

在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。

最重要的算术函数是积性及加性函数。算术函数的最重要操作为狄利克雷卷积，对于算术函数集，以它为乘法，一般函数加法为加法，可以得到一个阿贝尔环。

数论函数简介

数论函数亦称算术函数，一类重要的函数，指定义在正整数集上的实值或复值函数，更一般地，也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数，例如

以正整数为定义域的函数ƒ(n)，例如数列{αn}、阶乘n!、幂nλ等都是数论函数。

数论函数内容

设n的标准分解式为

①麦比乌斯函数

易知

式中和号表示d过n的所有因数。

② 欧拉函数φ(n) 表示与 n互素且不超过n的正整数的个数，易证

这里(m,n)=d。1801年，C.F.高斯证明了。关于欧拉函数，有一个迄今尚未解决的猜想：不存在

复合数n使得φ(n)|n 。这个猜想是1932年由D.H.莱默尔提出来的。1962年，柯召和孙琦证明了这样的复合数存在，n至少是12 个不同的奇素数的乘积；1980年，G.L.科恩和P.哈吉斯用计算机改进到 n至少是 14 个不同的奇素数的积。

③除数函数

当u≠0时，则有

当u=0时，

σ1(n)=σ(n)，正整数n满足σ(n)=2n时，n就叫做完全数。

数论函数狄利克雷卷积

设ƒ₁(n) 和ƒ₂(n) 是两个数论函数，则叫做ƒ₁(n) 和ƒ₂(n) 的狄利克雷卷积，记为ƒ₁(n)*ƒ₂(n)=ƒ(n) 。显然，ƒ(n)也是一个数论函数，且有

这里ƒ₃(n) 也是一个数论函数。狄利克雷卷积是研究数论函数的重要概念。可以证明：全体ƒ(1)≠0 的数论函数ƒ(n) ，对于狄利克雷乘积 * 组成一个阿贝尔群。

数论函数积性函数

若gcd (m,n)=1 ，有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n) ，称数论函数ƒ(n) 为积性函数。

若对任意正整数 m、n，有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n) ，则称数论函数 ƒ(n) 为完全积性函数，例如μ(n)、φ(n)、σu(n)是积性函数，但不是完全积性函数。曼格尔德特函数 Λ(n) 是非积性函数。

积性函数有下列性质：

①若 ƒ(n) 是一个非恒等于 0 的积性函数，则有 ƒ(1)=1 ；

②若 ƒ₁(n) 和 ƒ₂(n) 都是积性函数，则 ƒ₁(n)*ƒ₂(n) 也是积性函数；

③若 ƒ₁(n)*ƒ₂(n) 和 ƒ₂(n) 是积性函数，则 ƒ₁(n) 也是积性函数。