欧拉准则

欧拉准则（Euler's Criterion）又称欧拉判别准则，主要用途是判断一个数 n 是否是另一个奇质数 p 的二次剩余。

欧拉准则介绍

欧拉准则（Euler's Criterion）又称欧拉判别准则，主要用途是判断一个数 n 是否是另一个奇质数 p 的二次剩余。

欧拉准则简介

若 p 是奇质数，则有：

n 是模 p 的二次剩余当且仅当：

n 是模 p 的二次非剩余当且仅当：

欧拉准则证明

当

且模 p 意义下的负数可以转化为正数：

对于任意的正整数 n，根据二次剩余的定义，有：n 不是模 p 的二次剩余就是模 p的二次非剩余。

同时因为 p 是奇质数，根据费马小定理，我们有

因此我们只需证明 “n 是模 p 的二次剩余当且仅当：

先证充分性，即：n 是模 p 的二次剩余时，

因为 n 是模 p 的二次剩余，有

同时根据费马小定理，我们有：

再证必要性，即：当

假设 g 为模 p 的一个原根，则一定有某个正整数 k 满足

综上所述，n 是模 p 的二次剩余是

欧拉准则举例

例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数

令a = 17。对于怎样的质数p，17是模p的二次剩余呢？

根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。

首先测试p = 3。我们有：

1、7(3 − 1)/2 = 171 ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3)，因此17不是模3的二次剩余。

再来测试p = 13。我们有：

1、7(13 − 1)/2 = 176 ≡ 1 (mod 13)，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有：

1、7 ≡ 4 (mod 13)，而22 = 4.

运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到：

对于质数p =，(17/p) = +1（也就是说17是模这些质数的二次剩余）。

对于质数p =，(17/p) = -1（也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。

例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余

哪些数是模17的二次剩余？

我们可以手工计算：

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25 ≡ 8 (mod 17)

62 = 36 ≡ 2 (mod 17)

72 = 49 ≡ 15 (mod 17)

82 = 64 ≡ 13 (mod 17)

于是得到：所有模17的二次剩余的集合是1,2,4,8,9,13,15,16。要注意的是我们只需要算到8，因为9=17-8，9的平方与8的平方模17是同余的：92 = (−8)2 = 82 ≡ 13 (mod 17).（同理不需计算比9大的数）。

但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算3(17 − 1)/2 = 38 ≡ 812 ≡ − 42 ≡ − 1 (mod 17)，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。

欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义欧拉-雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。