角元塞瓦定理

设P为平面上一点(不在AB、BC、AC三条直线上),延长AP、BP、CP分别交对边或其延长线于D、E、F三点,则(sin∠BAP/sin∠PAC)(sin∠ACP/sin∠PCB)(sin∠CBP/sin∠PBA)=1

角元塞瓦定理介绍

设P为平面上一点(不在AB、BC、AC三条直线上),延长AP、BP、CP分别交对边或其延长线于D、E、F三点,则(sin∠BAP/sin∠PAC)(sin∠ACP/sin∠PCB)(sin∠CBP/sin∠PBA)=1

角元塞瓦定理定理简介

在数学竞赛中，证明平面几何中的三线共点问题时，首选的方法是同一法，行之有效的方法是同一法，用得最多的方法还是同一法．近几年来，同一法的老大地位已逐渐让位于塞瓦定理，其中当然包括角元塞瓦定理的逆定理．下面给出角元塞瓦定理的逆定理及其推论的证明。

角元塞瓦定理逆定理

在三角形ABC三边BC、AC、AB上分别取D、E、F三点，连接AD、BE，设它们交于P，连接CP、PF若(sinBAP/sinPAC)(sinACP/sinPCB)(sinCBP/sinPBA)=1，C、P、F在同一直线上，既AD、BE、CF三线共点．

角元塞瓦定理定理内容

设P为平面上一点（不在AB、BC、AC三条直线上），且(sinBAP/sinPAC)(sinACP/sinPCB)(sinCBP/sinPBA)=1则AD、BE、CF三线共点或互相平行．

角元塞瓦定理定理证明

先证原定理，过P作PX⊥BA，PY⊥AC，PZ⊥CB，则sinBAP/sinPAC=PX：PY，sinACP/sinPCB=PY：PZ，sinCBP/sinPBA=PZ：PX，故乘积为1。逆定理可用同一法证明。

角元塞瓦定理定理推论

若所引的三条线段都在△ABC 内部，则这三条直线共点．

角元塞瓦定理数学意义

数学竞赛的教练和优秀选手经常用塞瓦定理的逆定理来证明三线共点问题，并不是因为人们对此定理有所偏爱，而是因为它好用且适用，比同一法更加行之有效．加之使用角元塞瓦定理时，不但可以与平面几何中的许多定理配合应用，而且可以自然而然使用各种三角公式，因此，角元塞瓦定理的逆定理备受青睐．尽管这一逆定理的结论是“三线共点或互相平行”，但“三线互相平行”这一情形在大多数情况下都容易排除，并不影响用来证明三线共点问题．

此外，梅涅劳斯定理也可以协助塞瓦定理进行三点共线的证明，两者经常结合使用。