设y=f(x)在(A,B)区间中可导，且[a,b]包含于(A,B)，f'(a)<f'(b)，则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η。
设y=f(x)在(A,B)区间中可导，且包含于(A,B)，f'(a)<f'(b)，则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η。
设y=f(x)在(A,B)区间中可导，且包含于(A,B)，f'(a)<f'(b)，则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η。
设f(x)在 上可微，若在 上f′(x)不等于0 ，则f′(x)在 上保持定号(恒正或恒负)。
若函数f(x)在上可导，则f′(x)在上可取f′(a)和f′(b)之间任何值。
已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数：g(x)=f(x)-ηx。
若g(a)=g(b)，则由罗尔中值定理：存在ε∈(a,b)使g'(ε)=0。
不妨设g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。
由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。
又由罗尔中值定理，存在δ∈(ζ,b)使g'(δ)=0。
所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。
构造函数g(x)=f(x)-ηx。
由于f(x)在(a,b)区间内可导，所以f(x)在(a,b)区间内连续，故g(x)在(a,b)区间内连续。
补充定义使得g(x)在x=a，x=b处连续。
因为g'(a)=f'(a)-η<0,所以一定存在x>a,使得g(x)<g(a)，
即x=a不是函数g(x)在上的最小值，同理x=b也不是函数g(x)在上的最小值，
故g(x)在(a,b)区间内取得最小值，
所以必然存在ξ∈(a,b)，使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（费马定理），
所以对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.
由于连续函数介值定理有广泛的应用，因此导函数介值定理(Darboux定理)与导函数商的介值定理(在不要求导函数连续的情况下)也有广泛的应用。
我们知道平面曲线的最一般表示形式是参数形式。设曲线参数方程为
，x(t),y(t)在上可导,且x′(t)在上不为零,则在x′(t)与y(t)未必连续情况下，曲线切线的斜率可取两端点切线斜率间任何值。事实上，曲线在任一点的切线斜率为，由导函数商的介值定理 可取 与 之间任何值。如果不用导函数商的介值定理，此结果很难证明。因为参数方程确定的曲线未必总能化为显函数。即使能化为显函数，就具体曲线而言，化成的显函数的形式可能比较复杂，不利于研究它的性质。
此外,运用达布定理很容易看出：若函数f(x)在上可导，则f′(x)在上不可能存在第一类间断点。
微分Darboux定理的推广：若f(x),g(x)均在上可导，并且在上g′(x)≠0，则
可以取 与 之间任何值。
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