对偶网络

对偶网络是网络的一种类型。如果有两个网络N和Nz，它们的支路一一对应，其中一个网络的支路电压或电流的每一种约束关系，是另一个网络中相应支路把电压与电流互换之后的约束关系，则这两个网络互为对偶网络。例如，网络N中每一个支路电压与电流的约束关系满足关系式而网络Nz中，每一个支路电压与电流的约束关系满足关系式这时，网络N和Nz，互为对偶网络。

对偶网络网络计划中构建对偶网络模型的理论和方法

针对现有的网络计划模型重点体现的不是其核心机动时间和路差，而是具体的时间和路长，进而使得该模型在运用时往往会遇到阻碍的问题，利用对偶原理，构建网络计划模型的对偶模型。首先，通过分析机动时间和路长之间的关系，推导出路差定理；其次，在路差定理的基础上，利用对偶原理构建对偶网络模型，并分析其性质； 然后利用该模型揭示网络计划的对偶等价性； 最后，通过例子进行验证和说明。该对偶网络模型重点体现了机动时间和路差，使得网络计划更具针对性和有效性。

对偶网络对偶网络模型的概念和构建原理

根据对偶的含义，对于一个网络计划模型，记为A，如果基于A能够生成另一个网络模型，记为B，使其具有与A相同的结构和性质，但表示方法却与A相反。A中参数反映的是最长路的情况，那么B中参数反映的就是最短路的情况，并且这2种路线表示的是相同的路线，那么就称B是A的对偶网络模型。

根据路差的概念，如果路线的路长越大，那么它的路差就越小，反之亦然。这样，任意路线的路长和路差就具有了对偶关系，可以在路差的基础上构建网络计划模型的对偶网络模型。根据路差定理，任意路线的路差可由不同时差用不同的4种方式组成，因此可以利用这4种方式构建4类网络模型。首先，将每个时差的正值或负值都作为模型中对应工序的工期，使模型中任意路线的路长都等于原网络计划中对应路线的路差； 然后，用最短路线法计算各节点的参数，使得任意节点参数对应的最短路就是原网络计划中相应节点参数对应的最长路。在这里，找最短路等同于在原网络计划中找最长路，这样就可以构建出原网络计划模型的对偶模型。

由一个网络计划模型可以构建出4个不同的对偶网络模型，它们综合反映同一个网络计划模型的各种性质，相互具有互补性。因此，可称它们为互补对偶网络模型。

对偶网络对偶等价性

接下来分析不同网络计划图的对偶网络模型之间的关系。不同网络计划图指的是相互之间工序工期以及总工期不同，但要求网络的结构相同，即工序的数量和相互之间的逻辑关系相同，否则，不同结构的网络计划图对应的对偶网络的结构也必然不同，从而没有可比性。

网络计划中的各类时差都可以用路差表示。不同的网络计划之间，虽然工期不同，对应的路线长度也不同，但对应的不同路线的路长之差却有可能相同，就如同“8 ≠5，4 ≠1，但8－5=4－1”一样。 因此，如果不同网络之间对应的路差相同，则网络中对应的工序和节点的时差也相同，那么根据对偶网络模型的构建方法，它们的对偶网络模型也相同。简单地说就是，不同的网络计划可能有相同的时差和对偶网络，一个对偶网络的原网络计划有无穷多个。

但是反过来说，对于同类型的不同对偶网络，说明各自的原网络计划之间对应的时差不同，即路差也不同，那么对应的路长必有不同，就如同“若a－b≠c－d，那么必然有a≠c或b≠d”一样，进而对应工序的工期必然也有不同，则对应的网络计划也必然不同。 因此，同类型的不同对偶网络对应的原网络计划必然不同。

通过分析可知，对偶网络模型具有原网络计划模型所不具备的特性，能够反映不同网络计划之间的关系。从这个意义上说，具有相同对偶网络的所有网络计划之间具有某种等价性，可称之为对偶等价性。该性质表明，通过研究一类或几类互补对偶网络，就能够获得与这些对偶网络相对应的无穷多个原网络计划的共同特性。

对偶网络对偶网络拓扑法在场问题计算中的应用

网络拓扑法已被实践证明为一 种有效 实用的数值计算方法。它以数学分析简单、物理概念明确、单元剖分灵活、适用性强等优点，已被越来越多的场计算专家所采用，成为一种较优秀的数值分析方法。在普通网络拓扑法的基础上，以温度场计算为例，通过建立其能量泛函并求其极值，导出一种高精度的网络拓扑法— 对偶网络拓扑法。在给定的求解精度条件下，由于两组网络计算时产生误差之间的补偿作用，使用该方法能有效地减少计算存贮空间、缩短计算用时。用徽机求解复杂场问题。

对偶网络对偶网络与局部正交坐标

根据网络拓扑法计算单元等效参数的原则一一 对称分割法， 三 角形剖分单元对其三个顶点以及三条边的贡献由三角形外心决定。例如，△ABc的外心为o，a，b ，c 分别为AB，BC，CA三条边的中点。

在求解问题之前，先对求解区域进行剖分，用有限个三角形单元替代整个求解区域。连接各三 角形的外心， 构成有限个多边形，用虚线表示。从几何结构上看，多边形网络与三角形网络互为对偶。

现取两个相邻的三角形，建立局部正交坐标系xoy。两三角形公共边构成y轴，两三角形外心k，m的连线构成x轴。三角形的三个顶点与其外心相连把三角形分割成两个等腰三角形( 当三角形为直角三角形时 ) 或三个等腰三 角形 ( 当三角形为锐角三角形时 )。用完全相同的方法，可以在任意两个相邻三角形之间建立局部正交坐标系。一个局部正交坐标只适用于两相邻三角形中划分出的两个区域。

对偶网络对偶网络拓扑法的特点

设矩形区域，其中，T₁，_M 为已知温度值，ω为oa、bc段的长度。

按照传热学原理，可知求解区域内温度分布的解析。其中，H为ab、co段的长度，且o≤x≤W，o≤y≤ H。

取T₁=10℃，T=1℃，W=1，H=l，对区域进行划分，为普通网络拓扑法的单元划分，共计17×17= 289 个节点。计算三角形各斜边的中点 (共 (l7 一 l )= 256个 ) 处的温度值；为对偶网络拓扑法的单元划分，共计9×9 十 ( 10×10 一4）=177个节点，计算与位置相同处各点的温度值，共计256个。 计算在vAx一I 微型计算机上进行。