算子是一个函数空间到函数空间上的映射O：X→X。广义上的算子可以推广到任何空间，如内积空间等。
广义的讲，对任何函数进行某一项操作都可以认为是一个算子，甚至包括求幂次，开方都可以认为是一个算子，只是有的算子我们用了一个符号来代替他所要进行的运算罢了，所以大家看到算子就不要纠结，他和
的 没区别，它甚至和加减乘除的基本运算符号都没有区别，只是他可以对单对象操作罢了（有的符号比如大于、小于号要对多对象操作）。又比如取概率P{X<x}，概率是集合{X<x}（他是属于实数集的子集）对区间的一个映射，我们知道实数域和区间是可以一一映射的（这个后面再说），所以取概率符号P，我们认为也是一个算子，和微分，积分算子算子没区别。总而言之，算子就是映射，就是关系，就是变换。常见的算子有微分算子，梯度算子，散度算子，拉普拉斯算子，哈密顿算子等。
狭义的算子实际上是指从一个函数空间到另一个函数空间（或它自身）的映射。
广义的算子的定义只要把上面的空间推广到一般空间，可以是向量空间。赋范向量空间，内积空间，或更进一步，Banach空间，Hilbert空间都可以。算子还可分为有界的与无界的，线性的与非线性的等等类别。
赋范空间E的有界线性算子A∈
的阶为赋范空间AE的维数。对于一个输入和输出函数类型相同的算子T，满足
的k称为T的特征值，相应的称作T关于k的特征函数。对两个输入和输出函数类型相同的算子
和，如果，则称和为可交换的，可交换意味着和拥有同样的特征函数（但对应的特征值不同）。在心智技能形成的第一阶段，即认知阶段，要了解问题的结构，即起始状态，要到达的目标状态，从起始状态到目标状态所需要的步骤。每一个步骤就是一个算子。
在认知心理学领域中，人在解决问题时要利用各种算子来改变问题的起始状态，经过各种中间状态，逐步达到目标状态，从而解决问题。解决问题中的种种操作被称为算子（Operator）。
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