一般说来，直线与二次曲面相交于两个点；如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行平面所截，其截线是二次曲线。通常，我们将三元二次方程所表示的曲面称作二次曲面。平面叫做一次曲面。
二次曲面是在三维坐标系(x、y、z)下三元二次代数方程对应的所有图形的统称。在欧氏三维空间里坐标x,y,z之间的二次方程（系数为实数，且二次项系数不全为零）所表示的曲面。二次曲面的方程为：
二次曲面有12种：
(1)圆柱面(Cylindrical surface)
(2)椭圆柱面(Elliptic cylinder)
(3)双曲柱面(Hyperbolic cylinder)
(4)抛物柱面(Parabolic cylinder)
(5)圆锥面(Conical surface)
(6)椭圆锥面(Elliptic cone)
(7)球面(Sphherical surface)
(8)椭球面(Ellipsoid)
(9)椭圆抛物面(Elliptic paraboloid)
(10)单叶双曲面(Hyperboloid of one sheet)
(11)双叶双曲面(Hyperboloid of two sheets)
(12)双曲抛物面(马鞍面)(Hyperbolic paraboloid)
最常见的二次曲面是球面和直圆柱面及直圆锥面。此外，二次曲面还包括椭球面、双曲面（又分为单叶双曲面和双叶双曲面）和抛物面（又分为椭圆抛物面和双曲抛物面，后者又称马鞍面）。当表示二次曲面的一个方程，能分解为两个一次方程的乘积时，这个二次曲面就退化成两个或相交或平行或重合的平面。
在二次曲面里，椭圆面、双曲面、锥面、椭圆抛物面以及椭圆柱面都具有圆形截线。如果某一个平面截二次曲面于一个圆周，则所有平行于它的平面也截该曲面于一个圆周。所以一般来说，二次曲面由两族平行平面可以截出圆截线。与其平行的切平面的切点是二次曲面的脐点（或圆点）。
在某个域 K 上的 n 维射影空间
中，射影坐标 满足方程（ ，矩阵 是非零的对称矩阵）的点所构成的集合，称为 中的二次超曲面，简称为二次曲面。
二次曲面的分类问题归结为二次型的分类问题或 K 上的对称矩阵的分类问题。设 A 的秩为 r ，则当 K 为复数域
时，二次超曲面的方程可简化为标准形当 K 为实数域 时，二次超曲面的方程可简化为标准形
对于二次曲面的一般式：Ax+By+Cz+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Iz+J=0，
称为二次曲面的不变量。
又设
δ>0 | Δ=0 | 点 | |||
... | Δ≠0 | ΔS>0 | 虚椭球面 | ||
... | ... | ΔS<0 | 椭球面 | ||
δ<0 | Δ>0 | 单叶双曲面 | |||
... | Δ=0 | 二次锥面 | |||
... | Δ<0 | 双叶双曲面 | |||
δ=0 | Δ<0 | 椭圆抛物面 | |||
... | Δ>0 | 双曲抛物面 | |||
... | Δ=0 | δ0>0 | Δ0=0 | 线 | |
... | ... | ... | Δ0≠0 | Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3>0 | 虚椭圆柱面 |
... | ... | ... | ... | Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3<0 | 椭圆柱面 |
... | ... | δ0<0 | Δ0=0 | 相交平面 | |
... | ... | ... | Δ0≠0 | 双曲柱面 | |
... | ... | δ0=0 | Δ0≠0 | 抛物柱面 | |
... | ... | ... | Δ0=0 | G+H+I-JS>0 | 平行平面 |
... | ... | ... | ... | G+H+I-JS=0 | 重合平面 |
... | ... | ... | ... | G+H+I-JS<0 | 平行虚平面 |
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