二分图

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

二分图定义

简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。

二分图辨析示例

区别二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集。

图1中U和V构造的点集所形成的循环圈不为奇数，所以是二分图。

图2中U和V和W构造的点集所形成的的循环圈为奇数，所以不是二分图。

二分图充要条件

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

证先证必要性。

设G为二分图<X，E，Y>。由于X，Y非空，故G至少有两个顶点。若C为G中任一回路，令

C = (v0,v 1,v2，…，v l-1,v l = v0)

其中诸vi (i = 0,1，…，l）必定相间出现于X及Y中，不妨设

{v0,v2,v4，…，v l = v0} &Iacute; X

{v1,v3,v5，…，v l-1} &Iacute; Y

因此l必为偶数，从而C中有偶数条边。

再证充分性。

设G的所有回路具有偶数长度，并设G为连通图（不失一般性，若G不连通，则可对G的各连通分支作下述讨论）。

令G的顶点集为V，边集为E，现构作X，Y，使<X，E，Y> = G。取v0&Icirc;V，置

X = {v | v= v0或v到v0有偶数长度的通路}

Y = V-X

X显然非空。现需证Y非空，且没有任何边的两个端点都在X中或都在Y中。

由于|V|≥2并且G为一连通图，因此v0必定有相邻顶点，设为v1，那么v1&Icirc;Y；故Y不空。

设有边（u,v），使u&Icirc;X，v&Icirc;X。那么，v0到u有偶数长度的通路，或u = v0；v0到v有偶数长度的通路，或v = v0。无论何种情况，均有一条从v0到v0的奇数长度的闭路径，因而有从v0到v0的奇数长度的回路（因从闭路径上可能删去的回路长度总为偶数），与题设矛盾。故不可能有边（u,v）使u,v均在X中。

“没有任何边的两个端点全在Y中”的证明可仿上进行，请读者思考。

二分图最大匹配

求二分图最大匹配可以用最大流或者匈牙利算法。

最大匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配.

选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matching problem)

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

算法

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。

增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边（即已匹配和待匹配的边）在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径.

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1-P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M.

2-P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M'.

3-M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径.

匈牙利算法

用增广路求最大匹配（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）

算法轮廓：

⑴置M为空

⑵找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M'代替M

⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止

g:arrayof boolean;y:arrayof boolean;link:arrayof longint;function find(v:longint):boolean;var i:longint;beginfor i:=1 to m doif g and (not y) thenbeginy:=true;if (link=0)or find(link) thenbeginlink:=v;find:=true;exit;end;end;find:=false;end;begin//read the graph into array gfor i:=1 to n dobeginfillchar(y,sizeof(y),0);if find(i) then inc(ans);end;

其中n,m分别为2部图两边节点的个数，两边的节点分别用1..n,1..m编号

g=true表示x,y两个点之间有边相连

link记录的是当前与y节点相连的x节点

y记录的是y中的i节点是否被访问过.

算法的思路是不停的找增广轨，并增加匹配的个数，增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径，在匹配问题中，增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径，它的第一条边是还没有参与匹配的，第二条边参与了匹配，第三条边没有..最后一条边没有参与匹配，并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行，显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径，我们可以将第一条边改为已匹配，第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"反色",容易发现这样修改以后，匹配仍然是合法的，但是匹配数增加了一对.另外，单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明，当不能再找到增广轨时，就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.

代码中find(i）就是寻找有没有从x点i开始的增广轨，如果有就进行上述操作，代码是递归的，所以看起来不是很显然，画个图试试就很清楚了。

二分图性质

二分图中，点覆盖数是匹配数。

（1）二分图的最大匹配数等于最小覆盖数，即求最少的点使得每条边都至少和其中的一个点相关联，很显然直接取最大匹配的一段节点即可。

（2）二分图的独立数等于顶点数减去最大匹配数，很显然的把最大匹配两端的点都从顶点集中去掉这个时候剩余的点是独立集，这是|V|-2*|M|，同时必然可以从每条匹配边的两端取一个点加入独立集并且保持其独立集性质。

（3）DAG的最小路径覆盖，将每个点拆点后作最大匹配，结果为n-m，求具体路径的时候顺着匹配边走就可以，匹配边i→j',j→k',k→l'....构成一条有向路径。

（4）最大匹配数=左边匹配点+右边未匹配点。因为在最大匹配集中的任意一条边，如果他的左边没标记，右边被标记了，那么我们就可找到一条新的增广路，所以每一条边都至少被一个点覆盖。

（5）最小边覆盖=图中点的个数-最大匹配数=最大独立集。

二分图判定

二分图是这样一个图： 有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中，每个顶点集中没有边直接相连接！

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。

判断二分图的常见方法是染色法： 开始对任意一未染色的顶点染色，之后判断其相邻的顶点中，若未染色则将其染上和相邻顶点不同的颜色， 若已经染色且颜色和相邻顶点的颜色相同则说明不是二分图，若颜色不同则继续判断，bfs和dfs可以搞定！

易知：任何无回路的的图均是二分图。

二分图C语言实例

//其中n,m分别为2部图两边节点的个数，两边的节点分别用0..n-1,0..m-1编号bool g;//g表示x,y两个点之间有边相连bool y;//y记录的是y中的i节点是否被访问过.int link;//link记录的是当前与y节点相连的x节点bool find(int v){    int i;    for(i=0;i<m;i++)    {        if(g&&!y)        {            y=true;            if(link==-1||find(link))            {                link=v;                return true;            }        }    }    return false;}int main(){    //read the graph int array g        memset(link,-1,sizeof(link));    for(i=0;i<n;i++)    {        memset(y,0,sizeof(y));        if(find(i)) ans++;    }    return 0;}