概率分布函数是概率论的基本概念之一。在实际问题中，常常要研究一个随机变量ξ取值小于某一数值x的概率，这概率是x的函数，称这种函数为随机变量ξ的分布函数，简称分布函数，记作F(x)，即F(x)=P(ξ<x) (-∞<x<+∞)，由它并可以决定随机变量落入任何范围内的概率。 例如在桥梁和水坝的设计中，每年河流的最高水位ξ小于x米的概率是x的函数，这个函数就是最高水位ξ的分布函数。实际应用中常用的分布函数有正态分布函数、普阿松分布函数、二项分布函数等等。
概率分布函数是描述随机变量取值分布规律的数学表示。对于任何实数x，事件的概率当然是一个x的函数。令
，显然有 ，称F(x)为随机变量X的分布函数。所以，分布函数F(x)完全决定了事件的概率，或者说分布函数F(x)完整地描述了随机变量X的统计特性。常见的离散型随机变量分布模型有“0-1分布”、二项式分布、泊松分布等；连续型随机变量分布模型有均匀分布、正态分布、瑞利分布等。
离散型随机变量的概率分布
对于离散型随机变量，设
为变量X的取值，而 为对应上述取值的概率，则离散型随机变量X的概率分布为且概率 应满足条 。因此，离散型随机变量X的概率分布函数为
连续型随机变量的概率分布
对于连续型随机变量，设变量X取值于区间(a，b)，并假设其分布函数F(x)为单调增函数，且在
间可微分及其导数F’(x)在此区间连续，则变量X落在x至 区间内的概率为为描述其概率分布规律，这时不可能用分布列表示，而是引入“概率分布密度函数”
的新概念。定义概率分布函数F(x)的导数F’(x)为概率分布密度函数f(x)，即于是连续型随机变量X的概率分布函数可写为常用的概率积分公式的形式：
这样，只要已知某一连续型随机变量X的概率分布密度函数f(x)，即可求得X落在某一区间
内的概率：与离散型随机变量的概率函数一样．对于分布密度函数，有
连续型随机变量的分布密度函数
．以及与它对应的分布函数F(x)的图形分别如图1和图2所示。有时称f(x)的图形为分布曲线，而称F(x)的图形为累积分布曲线。分布函数F(x)是一个普通函数。正是通过它才能用数学分析的方法来研究随机变量。如果将X看成是数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间
的概率。分布函数F(x)具有下述基本性质：
①F(x)为单调非降函数：
②
左连续；③
。综上所述，概率分布函数是随机变量特性的表征，它决定了随机变量取值的分布规律，只要已知了概率分布函数，就可以算出随机变量落于某处的概率。
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