流函数

满足连续方程的一个描述流速场的标量函数。

流函数定义

流函数是流体力学中同连续性方程相联系的一个标量函数，它在流体平面运动和轴对称运动中有重要应用。不可压缩流体和定常可压缩流体的连续性方程可写成(1)式 。式中 v 为速度矢量；ρ为流体密度；ν=0和ν=1分别对应于不可压缩流体和定常可压缩流体情形。由方程

（1）容易看到存在着矢势B，使

（2）成立：

式中B称为广义流函数。在平面运动和轴对称运动这两种特殊情形下，B只有一个非零分量，如果引进流函数将来以一个函数代替两个速度分量函数的好处。在平面运动情形下连续性方程在直角坐标系中可以写成如下的形式：

式中u、v为速度矢量在x、y轴方向上的分量。由此推出存在流函数Ψ，使得：

显然，此时有B=（0，0，Ψ），Ψ称为平面运动的流函数。在轴对称运动中，取柱坐标系（r，φ，z）和球坐标系（r，φ，θ），连续性方程可分别写为：

式中v_r、v_z和v_r、v_θ分别为速度矢量在柱坐标r、z轴上和球坐标系r、θ轴上的分量。由式

（3）推出存在着流函数Ψ，使得：容易验证，此时矢势具有下列形式：

流函数性质

Ψ称为轴对称运动的流函数，也称为斯托克斯流函数。对于不可压缩流体，流函数具有下列四个性质：

①Ψ可加上任一常数而不影响对流体的运动的描述。

②Ψ为常数的曲面是流面。

③在Oxy平面上或θ=π/2的平面上取一曲线弧AB，则通过以AB为底、高为单位的曲面（平面情形）或通过以AB为母线的旋转曲面（轴对称情形）的流量Q与流函数在A、B两点上的值Ψ_A和Ψ_B之间存在如下关系：

Q=（2π）（Ψ_B－Ψ_A），

式中v=0和v=1分别对应于平面和轴对称情形。

④在单联通区域内若不存在源、汇（见源流、汇流），则流函数Ψ是单值函数。若单联通区域内有源，汇或在多联通区域内，则Ψ一般是多值函数。

如果不可压缩流体的运动是无旋的，则▽×v=0。在直角坐标系中无旋条件给出

于是Ψ满足下列方程：DΨ=0，式中D为广义斯托克斯算符，它在柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为：

流函数总结

1、对于不可压缩流的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有粘性还是没有粘性，一定存在流函数。在三维流动中一般不存在流函数（轴对称流动除外）。

3 流函数都有各自的常数值，流函数的等值线就是流线。

4、对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。

5、平面流动中，通过两条流线间任意一曲线（单位厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，与流线形状无关。

流函数参考文献

1.词条作者：吴望一 《中国大百科全书》74卷（第二版）物理学 词条：流体力学 ：中国大百科全书出版社 2009-07 ：327-328页