庞加莱球

椭圆偏振光是单色光波最一般的偏振态。研究椭圆偏振光的教学方法共有四种：即三角函数法、琼斯(R ·C - Jones)矢量矩阵法、斯托克斯 - G ·Stokes)参量法和庞加莱(H - Poincare)球法。庞加莱球是研究任一偏振态的方法。

庞加莱球简介

庞加莱球研究历史

椭圆偏振光的特征由方位(长轴方位) 形状(短长轴之比弥偏心率)和旋向确定，称偏振态。研究椭圆偏振光的教学方法共有四种：即三角函数法、琼斯(R ·C - Jones)矢量矩阵法、斯托克斯 - G ·Stokes)参量法和庞加莱(H - Poincare)球法。

庞加莱球特征

球的两极表征的是左、右旋圆偏振光：赤道上各点表{iE的是振动方向不同的线偏振光：上半球表征的是左旋椭圆偏振光：下半球表征的是右旋椭圆偏振光等等。

庞加莱球庞加莱球模型

设沿OZ 方向传播的椭圆偏振光的两个线性偏振分量为

椭圆率角Χ满足

其中方位角Ψ是椭圆主轴与X 轴正方向之间的夹角，它决定了椭圆在该平面内的取向(-π/2 <Ψ<π/2)。椭圆率角X定义为tgX = ±b /a，其中a 为椭圆半长轴，b为椭圆半短轴 X 的正负分别对应于右旋偏振和左旋偏振。 对于TE平面波的各种可能偏振态，可以用斯托克斯参数进行表示。斯托克斯参数的定义为

显然S₀=S₁+ S₂+ S₃所以式中只有3 个变量是独立的 且有

tg(2Ψ)=S₂/S₁

sin(2X)=S₃/S₀

理想情况下(即在无损传输时)有S₀ = 常数 所以S_1，S_2， S₃所表示的是一个球面。S₀ =1 的球就是庞加莱球。 球壳上各点与光的全偏振态一一对应。

庞加莱球庞加莱球表象

庞加莱球的角量(Ψ、x) 具有特定的意义，是描述单色光波偏振态的两个重要参量。

庞加莱球庞加莱球的赤道

庞加莱球的赤道是直线偏振光的集合，振动平面随着经度的增大而旋转。

赤道上S₃ = 0 ， 有φ= nπ(n 为零或整数) ，或a_x =0 或a_y = 0；设OX与OS₁轴平行，OS₁轴与球面的交点M 处，S₀=S₁ ，而S₂ = S₃ = 0 ，于是有a_y = 0 ，即点M 表征着振动方向平行OX轴的直线偏振状态;在OS2 轴与球面的交点N 处，S3 = 0、S₁ = 0、S₀ = S₂ ，于是有a_x = a_y ，Ψ = 45°，即点N 表征与OX轴成45°角的直线偏振状态;同理M的对称点M′表征着与OX轴成90°角即平行OY方向的直线偏振态1。对经度为2Ψ 的赤道上一点Q 有

S₀=a_x+a_y

S₁ = a_x--a_y= S₀cos2Ψ = S₀cosΨ -S₀sinΨ

S₂ = 2 a_xa_y = S₀sin2Ψ = 2 S₀cosΨsinΨ

得a_x = S₀cosΨ ，a_y = S₀sinΨ。由此可知，该点Q 表征着与OX轴成Ψ 角的直线偏振。

庞加莱球庞加莱球的南、北极点

庞加莱球的南、北极点所表征的偏振态如下。

对于该两极点，S₁= S₂ = 0、S₀ = S3 ，从而有ax = ay ，φ= nπ+π/ 2，北极点S₃ > 0 ，φ= 2nπ+π/ 2 ，即X方向的振动超前于Y方向π/ 2 ，于是该北极点表征右旋圆偏振光。同理可知，南极点表征左旋圆偏振光。

庞加莱球庞加莱球上的其它任一点

庞加莱球上的其它任一点P ( S1 、S2 、S3) 表征着椭圆偏振态。

角Ψ 表示椭圆的取向，它是椭圆长轴与OX的夹角(0 ≤Ψ ≤ π) 同一经线上各点表征着长轴具有相同取向的不同椭圆偏振态。角X用来表示椭圆的形状，也就是长短半轴(a ，b) 之比，tgx = ±b/ a ，可见庞加莱球的纬线代表等椭圆率线1 当0 < x ≤π/4 时，S3 > 0 即φ> 0 ，为右旋椭圆偏振光;当-π/4 ≤x < 0 时S3< 0 即φ< 0 ，为左旋椭圆偏振光。