鬼谷子问徒是一道古老的逻辑推理题目。其真实性已不可考，但这道古老的题目对今天的数学研究仍有指导意义。
鬼谷子问徒是一道古老的逻辑推理题目。其真实性已不可考，但这道古老的题目对今天的数学研究仍有指导意义。
本题为广为流传的一经典逻辑推理题目，原题如下：
孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟。一天鬼谷子出了这道题目：
他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。
请问这两个数字是什么？为什么？
题目解答分析：
1、庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数，可以有这样几个推论。
(A)庞涓手上的数字是4-198之间的数字，因为是两个2-99的数之和。
(B)庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和，否则孙膑拿到的积可能拆成唯一一种两个质数之积的情况，此时孙膑就可以猜出这两个数，庞涓不能排除这种可能性，就不会有确信。
歌德巴赫猜想认为任意大于4的偶数都能被拆成两个奇质数之和，但由于两个质数都要小于99，所以庞涓手上的数可能为偶数，但这个偶数会接近200（有182，184，188，190，192，196和198），除此之外，只可能是奇数。
举例：如果庞涓手上是28，可以拆成11+17，当孙膑拿到了187这个积，马上就可以猜出鬼谷子给他的两个数是11和17，与庞涓肯定孙膑不知道这两个数相矛盾，因此有可能拆成两个2-99的质数和的数都要排除。
(C)庞涓的和数一定不是大于55的数。因为大于53的数始终能够拆成质数53和另一个大于2的数，在2-99的限制下，这两个数的乘积只有这唯一一种拆分方法。举例：如果庞涓手上的和数是57，可以拆成53+4，当孙膑拿到212这个积，只有4*53这一种拆分可能性，因为2*106的另一种拆分方法导致有一个数超过99。由此排除55以上的所有所有数。
(D)满足以上条件的这样的数字仅有11个：
1、1，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53。
2、孙膑知道自己手中的积，并说本来不知道，但现在知道了。意味着，孙膑看了自己手上的积后，分解因式对应的所有拆分情况中有且仅有一种，两个因数的和是以上11个数中的一个。
举例：当庞涓看到两个数的和是11时，孙膑看到两数的积只能是18（2*9）、24（3*8）或者28（4*7），但不能是30（5*6）。因为如果是30，可以拆成2*15、3*10和5*6三种情况，其中2*15和5*6两种情况下，由于2+15=17和5+6=11都在以上11个数内，所以满足庞涓说出第一句话的要求，但孙膑不能确定鬼谷子的两个数是2和15，还是5和6，所以不会说出他已经知道这两个数的话。回头再看积是18的情况，孙膑可以猜到鬼谷子的两个数是2和9或者3和6，但因为3+6=9不在以上11个数内，不满足庞涓说出第一句话的条件，所以不可能，于是只有2和9唯一一种可能。同理，积是24和28的情况都可以类似推理。
根据这个条件可以得到对应以上11个数时，可能的两个数的情况：
可能的和（由庞涓说出第一句对话推得） | 可能的解（由孙膑说出第二句对话推得） |
11 | (2,9) (3,8) (4,7) |
17 | (4,13) |
23 | (4,19) (7,16) (10,13) |
27 | (2,25) (4,23) (5,22) (7,20) (8,19) (9,18) (10,17) (11,16) (13,14) |
29 | (2,27) (4,25) (6,23) (7,22) (8,21) (10,19) (11,18) (12,17) (13,16) |
35 | (3,32) (4,31) (6,29) (8,27) (9,26) (10,25) (12,23) (12,23) (14,21) (16,19) (17,18) |
37 | (5,32) (6,31) (8,29) (9,28) (16,21) (17,20) |
41 | (3,38) (4,37) (7,34) (9,32) (10,31) (12,29) (13,28) (15,26) (16,25) (17,24) (18,23) (19,22) |
47 | (4,43) (6,41) (7,40) (10,37) (13,34) (15,32) (16,31) (17,30) (18,29) (19,28) (22,25) (23,24) |
51 | (2,49) (3,48) (4,47) (5,46) (7,44) (8,43) (10,41) (11,40) (12,39) (13,38) (14,37) (16,35) (17,34) (18,33) (19,32) (20,31) (22,29) (23,28) (24,27) (25,26) |
53 | (5,48) (6,47) (8,45) (10,43) (12,41) (13,40) (15,38) (16,37) (17,36) (19,34) (20,33) (21,32) (22,31) (23,30) (24,29) (25,28) (26,27) |
3、庞涓是知道自己手中的和数，当孙膑猜出两个数后，庞涓也知道了这两个数字，由于庞涓并不知道两数积，所以只能从以上表格出发确定，这就要求第二步有唯一解。
举例：如果庞涓拿到的和是11，那么有3种情况满足孙膑说出第二句对话的条件，所以他并不能确定鬼谷子的两个数是2和9，3和8还是4和7。这就不符合庞涓说出第三句对话的条件。
因此，庞涓看到的和只可能是17，而孙膑看到的积是52，鬼谷子的两个数是4和13。
第二步求解过程比较复杂，可以借助VBA或C++等工具计算。主要逻辑包含三个循环，第一步循环以上11个数，记为S；在此循环内，第二步从2到(S-1)/2循环，找出所有A+B=S的正整数解A和B；在此循环内，第三步从2到
循环，找出所有x*y=AB的所有正整数解（借助mod函数）x和y，然后判断x+y=11/17/23/27/29/35/37/41/47/51/53的情况（可以全部列出，也可以增加一个循环判定），如果只有唯一一次等式成立，则A和B为符合要求的解。
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