最短时间控制

最短时间控制（Minimum-time control）又称时间最优控制time optimal control，也称快速控制，在规定的初始和终端条件下，要求找到某种控制作用，使其从给定的初始状态转移到最终的平衡状态，使所用的时间最短，即目标函数是过度过程时间。

最短时间控制背景

一般来说，不同的控制作用会使系统沿着不同的途径(即轨线)运行，但究竟哪一条途径为最佳，是由目标函数(即性能指标泛函)规定的。因此，不同的目标函数有不同的“最优”含义。而且，对于不同的系统其要求也各不相同。例如在机床加工中可以要求加工成本最小为最优，在导弹飞行控制中可以燃料消耗最少为最优，在截击问题中可选时间最短为最优等。因此，最优指的是使某一选定的性能指标泛函最小为依据的。

最小时间控制系统也称快速系统，它在导弹、宇航飞船的姿态控制方面应用很广泛。如果航天器的姿态受到某种扰动而偏离了给定的平衡状态，当偏离幅度不超过控制所许可的范围时，在最短时间内，控制航天器的姿态能恢复到给定的平衡状态，这就是最小时间控制的概念。最小时间控制又是极小值原理应用的范例。

最短时间控制极小值原理

极小值原理(minimum principle)估计超调和函数极小值点的位置的论断，为位势论的基本原理之一若f在区域D (DCR")内超调和。

其中∂D是D在R-=R∪{∞}中的边界;若f在某个x₀∈D达到极小值，则f≡f(x₀).特别地，D内调和函数若非常数不能在内点达到极小值.这些性质分别称为超调和函数与调和函数的极小值原理.类似地，对于下调和函数与调和函数，有极大值原理。

最短时间控制定义

能以最短时间完成规定控制作用的最优控制系统，又称快速控制系统。例如，航天器的姿态由于扰动而偏离给定的平衡状态，在快速控制系统的作用下，即能在最短的时间内恢复到原平衡状态。

60年代末，对于线性定常的被控对象，最速控制系统的设计问题已基本解决。在这类快速控制问题中，受控对象是线性定常系统，其状态方程(见状态空间法)为

夶(t)=Ax(t)+Bu(t)

x(0)=x0

式中x(t)是状态向量，u(t)是控制向量,A和B是由系统结构和参数所决定的系数矩阵。控制向量u(t)的各个分量u1，u2,…,um的幅值只能在容许范围内取值，这一约束条件可表示为：

|ui|≤Mi　(Mi为一正常数，i=1,2,…,m)

设计的目的是确定最优控制向量u*(t)(0≤t≤τ)，使被控对象在u*(t)的作用下能够用最短的时间τ由初始状态x0转移到指定的终点状态x(τ)=0。

应用极大值原理可以很好地解决线性定常受控对象的快速控制问题。其结论是:

①若受控对象能控(见能控性),则最优控制向量u*(t)唯一地存在。

②u*(t)是个开关函数,每个分量u垄(i=1,2,…,m)都分段取常值+Mi或-Mi。

③如果A的特征根均是实数，则u垄值在+M和-M之间切换的次数不大于n-1,n为特征根数。

④u*(t)可表示为状态变量x(t)的非线性函数，这一函数关系可用计算机来实现。对于一般情况的最速控制问题并无普遍适用的结果。

最短时间控制问题的提出

最短时间控制问题又称快速控制问题。寻找一个最优控制，使系统由初始状态转移到指定的目标集(即终端状态)，且所用的时间最少，即为快速控制所要解决的问题。下面以双积分系统为例研究最短时间控制问题。

二阶系统的最简单情形即为双积分系统，其状态方程可表示为

设U受到不等式约束，即

初始时刻t₀=0；初始状态为

寻求最优控制，使状态从x(o)转移到

用最小值原理求解。写出哈密顿函数：

求得协态方程为

因此为一条直线。其可能的形式如图1所示。

只在孤立的时刻有

表示了u的取值条件及规律。在整个控制过程中，在一1，十1之间最多只有一次转换，因此最优控制规律只有以下四种可能的方式:

为确定究竟选哪一种控制方式，在不同初值时，上述方程在平面上为两簇抛物线，如图2所示。

其中只有两半支曲线终止于坐标原点，如图3所示。

由此可见，起始于状态平面上任一点的运动要想到达坐标原点，必须先转移到y+或y-曲线上，再取u=+1或u=-1的控制，使状态沿y+或y-趋向原点，因此初始状态位于y+，y-曲线上方开始的运动，必先取u=-1的控制，使状态转移到y+上，然后将控制转换为u=+1即可用最短时间将状态转移到原点。

综上所述，可将双积分系统的最优控制规律表述如下:

快速控制规律(双积分系统)为

上述控制过程可由图4的结构实现口确定控制规律之后，利用状态方程可求得控制过程所用的最短时间。

最短时间控制时间控制定义

按照预定的时间间隔依次控制电动机起动或制动的方法。例如，在一定的时间范围内，依次分段切除起动电阻，实现电动机自动起动。通常由时间继电器在来实现。每隔一定时间，由时间继电器发出指令，使加速接触器动作，依次切除加速（或制动）电阻，使电动机加速（或制动）。广泛用于起重机及船舶机械电力拖动中。

最短时间控制数学基础

状态空间法的主要数学基础是线性代数。在状态空间法中，广泛用向量来表示系统的各种变量组，其中包括状态向量、输入向量和输出向量。变量的个数规定为相应向量的维数。用x表示系统的状态向量,用u和y分别表示系统的输入向量和输出向量，则系统的状态方程和量测方程可表示为如下的一般形式：

x'=f(x，u，t)，　y=g(x，u，t)

式中,f(x，u，t)和g(x，u，t)为自变量x、u、t的非线性向量函数,t为时间变量。对于线性定常系统状态方程和量测方程具有较为简单的形式：

x'=Ax+Bu，　 y=Cx+Du

式中A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵,D为直接传递矩阵，它们是由系统的结构和参数所定出的常数矩阵。在状态空间法中，控制系统的分析问题常归结为求解系统的状态方程和研究状态方程解的性质。这种分析是在状态空间中进行的。所谓状态空间就是以状态变量为坐标轴所构成的一个多维空间。状态向量随时间的变化在状态空间中形成一条轨迹。对于线性定常系统，状态轨迹主要由系统的特征值决定。系统的特征值规定为系统矩阵A的特征方程det(sI-A)=0的根，其特征可由它在s复数平面上的分布来表征。当运用状态空间法来综合控制系统时，问题就变为选择一个合适的输入向量，使得状态轨迹满足指定的性能要求。

最短时间控制优点

状态空间法有很多优点。由于采用矩阵表示，当状态变量、输入变量或输出变量的数目增加时，并不增加系统描述的复杂性。状态空间法是时间域方法，所以很适合于用数字电子计算机来计算。状态空间法能揭示系统内部变量和外部变量间的关系，因而有可能找出过去未被认识的系统的许多重要特性，其中能控性和能观测性尤其具有特别重要的意义。研究表明，从系统的结构角度来看，状态变量描述比经典控制理论中广为应用的输入输出描述（如传递函数）更为全面。

最短时间控制意义

状态空间法的运用对现代控制理论中其他各种方法的发展起了重要的推动作用。线性系统代数理论、线性系统几何理论和多变量频域方法，都是在状态空间法的影响下发展起来的。

最短时间控制控制模式和数学模型

当水轮发电机组投入大电网中并列运行时，机组输出功率的变化不影响机组频率，在这种运行状态下，调速器变成开环系统，按照人为的负荷整定值来调节水轮机导叶开度，其示意图如图5所示，这时调速器成为一个随动调节装置。

当调速器作为随动调速工作时，其调节作用具有滞后性，显著提高调节的速动性可采用机组切除缓冲器的运行方式，这在机组并列于大容量电网中运行，而机组容量所占比重不大时是适宜的。事实上，在实用的最短时间控制中，一般均是采用双重反馈模型结构的，即以快速最优过程消除大幅度偏差，以常规的方式消除小偏惹这样可以避免在最短时间控制过程中出现的极限环，有利于提高控制系统的稳定性，只需在偏差小于允许误差时，由开关控制切换至常规的PID(或PI)控制即可因此，在对机组进行负荷调整时，可先切除暂态反馈，以快速最优过程消除大幅度偏差，当偏差小于某个允许误差时，再投入暂态反馈进行PID(或PI)调故在一定水头下，当机组稳定时，由(2)式可知，水轮机导叶开度与水轮机的转矩是一一对应的，而转矩乘角速度等于功率，角速度可通过系统频率计算求出。这样就可以把机组负荷调整的最短时间控制转化成对应的水轮机导叶开度调整的最短时间控制。也就是说，当需要把机组的负荷P调整到P₀时，可根据系统频率计算出对应于P₀的水轮机转矩m_t0，由m_t0和当时的水头h。