双线性变换

在数字信号处理和离散时间的控制理论中，双线性变换 (即 Tustin变换)被用来在连续时间系统与离散时间系统做转换。

双线性变换定义

双线性变换是一种特别的共形映射(即莫比乌斯变换)，常被用来将线性非时变系统滤波器在连续时域的传递函数转换成线性且平移不变滤波器在离散时域的传递函数。将S平面中位置在

这种变换保有稳定性且将连续时间滤波器的频率响应中每一点映射到离散时间滤波器的频率响应中所对应的点，虽然频率会有点不同，这部分会在之后的频率扭曲中解释。对于模拟滤波器的频率响应中所看到的特征，在数字滤波器的频率响应中都有相同增益和相位平移的对应特征，虽然频率可能会有点不同，在低频时很难观察到但在频率接近奈奎斯特频率时就相当明显。

双线性变换离散时间估计

双线性变换是自然对数函数的一阶估计法，也就是将z平面映射到s平面，当拉普拉斯变换被用在离散时间信号上(将离散时间串行中的每个元素附在对应的延迟狄拉克δ函数)，其结果确实为将离散时间串行的Z转换替代成

其中T是用在推导双线性变换的梯形公式中数值积分每阶的大小，换句话说就是采样间距。上述的双线性估计可以透过 s来解或是产生一个近似估计

逆映射则为

双线性变换的本质是使用这种一阶估计法且将连续时间传递函数

也就是说

双线性变换保留性质

保留稳定性及最小相位性质

如果有一个连续时间且有因果性的滤波器，其传递函数的极点落在复数S平面的左半边，此滤波器则为稳定的。如果有一个离散时间且有因果性的滤波器，其传递函数的极点落在复数Z平面的单位圆内，此滤波器则为稳定的。双线性变换将复数S平面的左半边映射到复数Z平面的单位圆内，因此稳定的连续时间滤波器被转变成离散时间滤波器后也保有稳定性。

同样地，如果有一个连续时间的滤波器，其传递函数的零点落在复数S平面的左半边，此滤波器则有最小相位性质。如果有一个离散时间且有因果性的滤波器，其传递函数的零点落在复数Z平面的单位圆内，此滤波器则有最小相位性质。透过相同的映射性质，可以保证有最小相位性质的连续时间滤波器被转换成离散时间滤波器后也保有最小性质。

双线性变换例子

以一个简单的低通RC电路当例子，这种连续时间滤波器的传递函数为

如果我们想将这种滤波器应用成数字滤波器，我们可以将上式中的{displaystyle s}做替换，因此可以得到下列表示式

在应用在即时数字滤波器时，分母的系数为’反馈系数’而分子的系数为’前馈系数’。

双线性变换双二阶变换

将连续时间的模拟滤波器的系数对应到由双线性变换展成的相似的离散时间数字滤波器是有可能的，假设有一个传递函数为下式的一般二阶连续时间滤波器

利用下列替换方法做双线性变换

其中

其结果为一个离散时间的数字双二阶滤波器，且由原本连续时间滤波器的系数所组成的表达式如

一般而言，在推导对应的差分方程序前，分母的常数项会被标准化为1