费尔巴赫定理

三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。 此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。

费尔巴赫定理详细介绍

三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。 此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。

费尔巴赫定理简介

费尔巴赫定理 三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。

此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。

费尔巴赫

费尔巴赫定理表现形式

在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心.s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c.

易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2;

AH=2R*cosA,AO=R,AI=√,AIa=√

在△AHI中，由余弦定理可求得:

HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;

在△AHO中，由余弦定理可求得:

HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2;

在△AIO中，由余弦定理可求得:

OI^2=R(R-2r).

∵九点圆心在线段HO的中点,

∴在△HIO中，由中线公式可求得.

4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+

2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)

=(R-2r)^2

故IQ=(R-2r)/2.

又△ABC的九点圆半径为R/2,

所以九点圆与内切圆的圆心距为

d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ.

因此 三角形的九点圆与内切圆内切。

在△AHIa中，由余弦定理可求得:

IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2;

在△AOIa中，由余弦定理可求得:

IaO^2=R(R+2ra).

在△HIaO中，由中线公式可求得.

4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra)^2

故IaQ=(R+2ra)/2.

九点圆与∠A的旁切圆的圆心距为

d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ.

故三角形的九点圆与∠A的旁切圆外切。

因此 三角形的九点圆与旁切圆外切。