角动量

角动量L的大小L=rpsinφ（φ为r与p的夹角），方向垂直于位矢r和动量p所组成的平面，指向是由r经小于180°的角转到p的右手螺旋前进的方向。

角动量定义

质点动量p对O点之动量矩（通常称为角动量）L_（O）（简记为L）为

L=r×p

其中r是质点相对O点的位矢。

角动量大小的量纲====LMT，单位有N·m·s，kg·m²/s。

角动量几何意义

位矢r在单位时间内扫过的面积，称为它的掠面速度。

可以证明，掠面速度为S‘=|r×v|/2.

角动量大小L=|r×p|=|r×mv|=m|r×v|=2mS'.

角动量守恒定律指出，当合外力矩为零时，角动量守恒，物体与中心点的连线单位时间扫过的面积不变，在天体运动中表现为开普勒第二定律。

角动量相关定理

角动量质点的角动量定理

证明：由于L=r×p，故角动量对时间的变化率为

在上式中，右端第一项的

由牛顿第二定律得，

式中的r×F是力矩的定义.（力的作用点相对给定点的位矢r与力F的矢积为力对给定点的力矩，以M表示，即M=

于是有

即质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率.这个结论叫做质点的角动量定理.

质点系的角动量定理也可写成同样的形式

不过M是质点系所受的总外力矩，L是质点系的总角动量.

由

两边积分得质点角动量的积分形式

ΔL=L-L₀=

即，惯性系中，在一段时间内质点对固定点角动量的增量，等于质点所受合力在这段时间内对该点的冲量矩.

角动量质点的角动量守恒定律

根据

L=常量（M=0）

这就是说，如果作用在质点上的外力对某给定点O的力矩（r×F）为零，则质点对O的角动量在运动过程中保持不变，这就叫做质点的角动量守恒定律。

另：某段时间内若质点所受合力对原点力矩M不为零，但是M的某分量（对某坐标轴力矩）总是零，则该段时间内质点对原点角动量的该分量守恒，或质点对该轴角动量守恒.

角动量质点系的总角动量

在惯性系S系中，取某点为坐标原点O，则质点系对某点总角动量

第i个质点在惯性系S系和质心系S'系（取质心为原点和参考系）两个参考系中位矢和速度的变换关系是

由质心系性质得

整理得

上式右边的两项分别是质心系中质点系的总角动量L'（称为固有角动量或是自转角动量）和惯性系S系中质量集中在质心后质心对O点的角动量L_c，于是有

L=L'+L_c

角动量定轴转动刚体的角动量

取某点为坐标原点O，设刚体绕着Oz轴以角速度ω转动，刚体对Oz轴的转动惯量为I.

刚体对O点的角动量L，等于各个质元角动量的矢量和.对于定轴转动，把L沿Oz轴的分量L_z，叫做刚体绕定轴的角动量.

即L_z=Iω.

其中利用了三重矢积的性质式（a×（b×c）=（a·c）b-（a·b）c）.r与ω垂直（由于L_z是L沿Oz轴的分量，r是位矢与位矢在Oz轴的分量相减得到的矢量），r·ω=0.