大地线

大地线（Geodesic Lines）是指地球椭球面上两点间的最短程曲线。大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合。

大地线基本概念

大地线定义

大地线（Geodesic Lines）是指地球椭球面上两点间的最短程曲线。

在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线。

大地线模型

假如在椭球模型表面 A, B 两点之间，画出相对法截线如图1，然后在A，B 两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，如图1所示，这就是一条大地线，由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间最短线。

大地线相对法截线

假设经纬仪的纵轴同 A，B 两点的法线 An_a和Bn_a 重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截线。用A 点照准B 点，则照准面An_aB 同椭球面的截线为 AaB，叫 A 点的正法截线，或 B 点的反法截线；同样由 B点照准 A 点，则照准面Bn_bA 与椭球面的截线为 BbA ，叫B 点的正法截线，或 A 点的反法截线。因法线 An_a 和 Bn_b 互不相交，故 AaB 和 BbA 这两条法截线不相重合。AaB 和 BbA 叫做 A，B 两点的相对法截线。注：n_a 与n_b分别是 A ，B 两点法线与短轴的交点。

大地线用途

当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面A，B，C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形，见图3。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。

大地线性质

大地线是椭球面上两点间的最短线。
大地线是无数法截线的连线。
椭球面上的大地线是双重弯曲的曲线。
大地线位于相对法截线之间。
不在同一子午圈与同一平行圈上的两点的正反法截线是不重合的，他们之间的夹角为△，在一等三角测量中可达到千分之四。大地线是两点间最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线（如图1），它与正法截线的夹角

大地线方程式

大地线微分方程

如图4，设 p 为大地线上任意一点，其经度 L ，纬度为 B，大地线方位角为A 。当大地线增加 dS 到p₁点时，则上述各量相应变化 dL ， dB 及 dA。所谓大地线微分方程，即表达dL，dB，dA各与dS 的关系式。