椭球坐标系

椭球坐标系(ellipsoidal coordinates)是正交曲线坐标系的一种。在正交曲线坐标系中，椭球坐标系具有一定的普遍性，其他可分离变量的十种正交曲线坐标系都是它的特殊情况。

椭球坐标系定义

在正交曲线坐标系中，椭球坐标系具有一定的普遍性，其他可分离变量的十种正交曲线坐标系都是它的特殊情况。由于椭球坐标系所得出之解的普遍性，使它可以直接变换至其他一些正交曲线坐标系中。因此，我们首先讨论这种坐标系。

假定实常数

，则方程

表示一个二次共焦曲面，曲面的大小形状与u有关。u在不同区间内变化时，它表示不同大小形状的共焦曲面。为此。我们可按u在不同区间的变化来考查曲面的大小形状。

（1）当u=0时，则

表示椭球面，其半主轴长度为a，b和c。

（2）当

在区间

变化时，则

表示共焦椭球坐标系。因为u在该区间内有

故方程

具有椭球面方程的形式，

和

表示变化的半主轴长度，半主轴的变化就形成一系列共焦椭球曲面，如图1所示。

（3）当

在区间

变化时，则

表示共焦单叶双曲面坐标系．因为u在该区间内有

故方程

具有单叶双曲面方程的形式，

和

表示变化的半主轴长度，半主轴的变化就形成一系列共焦单叶双曲面，如图1（b）所示。

（4）当

在区间

变化时，则

表示共焦双叶双曲面坐标系。因为u在该区间内有

故方程

具有双叶双曲面方程的形式，

和

表示变化的半主轴长度，半主轴的变化就形成一系列共焦双叶双曲面，如图1(c)所示。

椭球坐标系椭球坐标系与直角坐标系的关系

已知u在

的相应区间内变化时所分别代表的三种曲面就是椭球坐标系中的三个坐标曲面，即椭球曲面、单叶双曲面和双叶双曲面。然而，我们最常用，最熟悉的是直角坐标系，如能建立这两种坐标系之间的对应关系．就会给椭球坐标系中的计算带来方便。

设空间任一点P在直角坐标系中的位置为

，代入上述三种坐标系方程中，可求得P在椭球坐标系中的相应位置为。

方程

可改写为u的函数形式

显然，对于方程

，

为一三次多项式

因此，

表示方程F(u)=0的三个根，可得

由上述F(u)的方程知，当

或

时g(u)为正值；当

，或

时，g(u)为负值。如图2所示．当u沿u轴依次取值

时，g(u)则按上述三项多项式依次取值。

由此可见，F(u)或g(u)的三个根是互不相等的实根，分别位于区间

和

中．可写为

在上述F(u)方程中，依次乘以

，并依次令

．再代入式

；或者在上述g(u)两式中，依次令

，均可求得

和

的表达式．开方之后写为

以上三式建立了椭球坐标系

与直角坐标系(x，y，z)之间非单值的对应关系。