线性代数的重要概念之一.设σ是数域P上的线性空间V的一个变换.若对于V中的任意向量α，β与P中的任意数k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V的一个线性代换.设σ是线性空间V的一个变换，若对于V中任意向量α，有σ(α)=α，则σ是V的线性变换，称为恒等变换，亦称单位变换，记为I.若V的变换σ对于V中的任意向量α，有σ(α)=0，则σ是V的线性代换，称为零变换，记为0.线性变换是欧氏几何中的变换、解析几何中的某些坐标变换、数学分析中的某些变量代换以及其他数学分支中某些类似的变换的抽象、概括与推广.数域上线性空间的线性代换可以推广为同一个域上的两个不同线性空间的线性映射.线性代换不仅是线性代数的主要研究对象之一，也是数学中的一个重要的概念.近代数学中的许多分支的研究对象，如泛函分析中的线性算子.同调代数中的模同态等都与线性代换有密切的联系。
（1）线性代换是线性空间V到自身的映射通常称为V上的一个变换。
同时具有以下定义：
线性空间V上的一个变换A称为线性代换，对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有
（2）线性代换是线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性代换，平移则不是V上的线性代换。对线性代换的讨论可借助矩阵实现。
（式中θ指零向量）称为σ的核， 称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：
（3）在数学中，线性映射（也叫做线性代换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性代换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。
（4）在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。
（1）设A是V的线性代换，则
；（2）线性代换保持线性组合与线性关系式不变；
（3）线性代换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意：线性代换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。
线性代换的加法和数量乘法：
定义一： 设
。定义二：设
。定义三：设
。定义四：设
，使得
，则称A是可逆的，且B是A的逆变换，记为：
。关于线性代换和特征值的理解：
首先我们来看这样一个事实。一个二维的直角坐标系XOY，然后逆时针方向旋转了ө角变为X’OY’后，考察会发现XOY和 X’OY’的坐标系之间存在这样的转化关系。就是说在XOY坐标系下的某一个点在X’OY’坐标系下的坐标变了 。那么我们同样来考察一下这两个坐标系下的基坐标。就是来考察在XOY坐标系下的基坐标 (1，0)和(0，1)在新的坐标系X’OY’下的 基坐标下的投影大小用(1，0)和(0，1)来表示为这样的。注意，这里的矩阵的排列是前面两个基坐标系数方程的转置矩阵，之所以写为转置矩阵是因为我们习惯这样来写基坐标的线性代换A =( ， ) 。我们可以看到这样的旋转变换的目的就是把坐标系旋转后来看一下。这样的旋转角度一旦确定以后，我们就能够得到原来的老坐标下的坐标点在新坐标系下的坐标为 。注意的是，这里的坐标是右乘变换矩阵。
线性代换数学定义在一般的高等代数学书中都可以找到。
。其中a，b是V中的线性空间。这个定义就是说把空间中的元素（特殊地想为三维空间的向量）经过一个变换，而这种变换是具有线性的特性的。那么这种变换的从一个元素转变到另外一个元素的对应关系，我们可以用前面的一个矩阵来表示，称为线性代换矩阵。
在三维空间中，我们有一个球心在原点（XOYZ和 X’OY’Z’的坐标系具有不为零的三个欧拉角）的球面，球面上的每一个点当然都有一个空间矢量，我们让这个球开始沿着X’OY’Z’的三个主轴方向变化，假设X’，Z’方向膨胀，Y’方向收缩，那么我们可以想见，只有这三个方向的位置矢量是沿着原来的方向变化着的，其它的位置矢量在新的位置都会和原来的位置矢量有一个夹角。容易直观的理解，这样的变换是线性代换。
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